Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty i ich własności

Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach.

Podział czworokątów:

• wklęsłe
• wypukłe: trapezoidy, deltoidy, trapezy, równoległoboki, romby, prostokąty, kwadraty.

Klasyfikacja czworokątów:

Charakterystyka czworokątów

Deltoid

DEFINICJA "Deltoid" to czworokąt wypukły, którego pary sąsiednich boków są równe, ale w którym żadne dwa boki nie są do siebie równoległe.

Własności deltoidu:

• Przekątne są prostopadłe.
• Miary kątów między bokami o różnych długościach są jednakowe.
• Przekątna AC jest jednocześnie dwusieczną kątów DAB i DCB.
• Przekątna AC dzieli przekątną DB na pół.

Wzory:

Ob. = 2a + 2b

P = ½ × |DB| × |AC|

P = a × b × sin(kąta ADC)

Trapez

DEFINICJA Trapez jest to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Własności trapezu:

• Wysokością trapezu nazywamy odcinek zawarty między prostymi zawierającymi jego podstawy i prostopadły do nich.

• Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i wynosi ½ × (a + b)
• Odcinek łączący środki przekątnych jest równy ½ × (b-a)
• Suma kątów przy tym samym ramieniu jest równa 180°

Wzory:

P = ½ × (a + b) × h

P = ½ × |DB| × |AC| × sin kąta pomiędzy przekątnymi

Równoległobok

DEFINICJA Równoległobok jest to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który spełnia chociaż jeden z warunków:

1. Przeciwległe boki są równoległe oraz są tej samej długości
2. Przekątne dzielą się na połowy
3. Przeciwległe kąty są równe
4. Suma miar kątów przylegających do każdego boku jest równa 180^o

• Obwód równoległoboku: Ob = 2a + 2b
• Pole równoległoboku: P = a* h = a * b * sin α

Romb

DEFINICJA Romb jest to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.

Własności rombu:

• AB, BC, DC, AD = a – boki rombu
• AC = d1 oraz BD = d2 – przekątne rombu
• d1 , d2 – długości przekątnych rombu
• h – długość wysokości rombu
• r – długość promienia okręgu wpisanego w romb
• kąt alfa – miara kąta ostrego, jaki tworzą boki rombu

W czworokącie tym przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.

Miejsce przecięcia przekątnych (d1 i d2, które przecinają się pod kątem prostym) jest środkiem okręgu wpisanego.

Promień (r) jest połową jego wysokości (h).

Wzory:

Pole rombu

• P = a*h
• P = (d1*d2) / 2
• P = 2a * r
• P = a2 * sin alfa

Obwód rombu = 4a

Prostokąt

DEFINICJA Prostokąt jest to czworokąt, którego wszystkie kąty są równe (i wynoszą 90°).

Kwadrat

DEFINICJA Kwadrat jest to czworokąt, którego wszystkie kąty i boki są równe.

Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu wyznacza:

• środek okręgu opisanego na kwadracie, którego promień R jest równy połowie długości przekątnej kwadratu
• Środek okręgu wpisanego w kwadrat, którego promień r jest równy połowie długości boku (a) kwadratu.

własności ma 4 kąty proste

ma 4 boki równej miary

ma dwie przekątne, które przecinają się w połowie

Pole kwadratu:

• P = a²
• P = ½ d²
• P = 2R²
• P= (2r)²

Długość przekątnej kwadratu: a pierwiastek z 2

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie: R= ½ d = ${\operatorname {a} {\sqrt {(}}2) \over \operatorname {2} }$

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat: r = ½ a