Mechanika teoretyczna/Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej.

Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje

W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu , w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki:

Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej , a także na samym końcu od czasu. Wprowadźmy teraz funkcję zwaną funkcją Hamiltona, którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych i pędu uogólnionego odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a: Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu:

2f równań różniczkowych , i , są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość , możemy powiedzieć: Widzimy, że na podstawie tożsamości , jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie , i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość: Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona , a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a , możemy powiedzieć: Jeśli zmienna uogólniona q_k jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej q_k, to hamiltonian też nie zależy od niej.

Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej

Ciało umieszczone na sprężynie

Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu liczymy ze wzorów:

Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych

Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt :

Hamiltonian możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany , która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach , i :

Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym

Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to: Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych piszemy wedle: Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu:

Nawiasy Poissona

Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p_i i q_i są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q_i i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p_i: A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p_i i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q_i: Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych i , wtedy mówimy:

Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona i : Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości:

Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości możemy powiedzieć: Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze hamiltonian , to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie , zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona:

Ważne elementarne tożsamości

Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce:

Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona względem czasu "t" przedstawiamy:

Tożsamość Jacobiego

Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h nazywamy tożsamość: W celu dowodu tożsamości należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g" ,wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D₁(φ)={g,φ}_P i D₂(φ)={h,φ}_P, wtedy należy policzyć wyrażenie: Wprowadźmy teraz definicję operatorów D₁ i D₂ przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f.

Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D₁ i D₂ na dwa sposoby:

A różnica złożeń operatorów D₁ , D₂ , czyli i możemy przestawić poprzez: Widzimy, że w lewej stronie tożsamości upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D₁D₂-D₂D₁) na tą właśnie funkcję jest nawiasem , który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji jest tożsamościowo równa zero.

Twierdzenie Poissona

Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona ), to wtedy mając to na uwadze, to wyrażenie podstawia się wtedy h=H, zatem: Z tożsamości wynika, że jeśli , (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również jest równa zero (pochodna zupełna funkcji jest równa zero), zatem na podstawie zachodzi . Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie zachodzi tożsamość: Do wzoru wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona , a także wynikłe z tożsamości Jacobiego , wtedy: Do obliczeń do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość , i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest:

Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne

Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych:

W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne są określone jako:

Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R₁, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu, otrzymujemy:

Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość , wnioskujemy: Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R₁ możemy rozpisać względem współrzędnych q_k, Q_k i czasu, dostajemy: Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R₁, tzn. tożsamość końcową z , w ten sposób możemy napisać tożsamości:

Wzory , i na samym końcu stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bodź razem możemy obrać funkcję R₁, która stanowi jakoby funkcję tworzącą. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R₁, którego przepis jest , wtedy wykorzystując wzory , i , wtedy na podstawie dla naszej funkcji tworzącej możemy napisać zależności:

Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu wygląda:

Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q_k i Q_k, ale w zmiennych q_k, p_k, Q_k, P_k wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q_k,p_k,Q_k,P_k), zatem wykorzystując równanie dostajemy: wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R₁ zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach:

Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R₁ w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle , i : Jeśli równanie zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R₁, czyli dla , , , tzn. w postaci: Jeśli porównamy wzory , , z odpowiednimi wzorami , to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p_k, q_k, P_k i Q_k, zatem dostajemy wzory poniżej:

Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest , na podstawie tego otrzymujemy p_k=P_k, Q_k=q_k, . Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R₂ jest funkcja tworząca , dla której zachodzi Q_k=f_k(q_k,t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q_k i czasu t.

Równania Hamiltona-Jacobiego

Gdy hamiltonian będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q_k=const i P_k=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R₂=S(q_k,P_k,t), dla którego wzory i piszemy przy oznaczeniu jej przez S:

Wtedy patrząc na wzór , które przestawia równanie Hamiltona -Jacobiego przy warunku i wykorzystując warunek z oczywistych powodów , piszemy: Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem , w której wiadomo, że S to jest R₂, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: Dalej wykorzystajmy wzór i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t, w ten sposób otrzymujemy równość: Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru do równania przy założeniu równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q_k i P_k względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem , z którego co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy , wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: Na podstawie wzoru , całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą):

Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)

Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym jest: Jeśli wykorzystamy równość , która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem , co przy takich rozważaniach możemy napisać równość:

Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: Układ opisywany za pomocą hamiltonianu jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: Wtedy równość , na podstawie wzoru na wielkość S i wzoru na energię E układu , piszemy: Ponieważ każdy wyraz występujący w w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S_i:

Mając rozwiązania , i , które są rozwiązaniem równania i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego , to energia układu na podstawie tego jest wyrażona: Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym , a także równość na funkcję S , to całkowite rozwiązanie na funkcję S jest: Wyznaczmy teraz wielkości Q_k wedle wzoru , zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q₁, Q₂, Q₃, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu i wykorzystując przy tym z na wielkość S, wtedy:

Wedle równości , i możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z) z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu:

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych

Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: Teraz przestawmy potencjał U(r,θ,φ) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(φ), i na samym końcu od c(θ), i od zmiennych r, θ, φ: Ostatni wyraz w ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej φ: Wzór na potencjał pola podstawiamy do wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego , mając wzór na pęd uogólniony , otrzymujemy wtedy równość różniczkową: Możemy uwzględnić, że zmienna θ jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania , w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych θ, "r", φ i "t": Jeśli do równości podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie , to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr β, który jest w pewnym sensie parametrem stałym:

Patrząc na równości różniczkowe i możemy napisać końcową równość na funkcję S , gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia:

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych

Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych ξ i η, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi:

Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" i współrzędną radialną ρ : Patrząc na wzory na promień i i współrzędną zetową od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne ξ i η w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z":

Wzory i podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy: Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu , która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej , współrzędnej η-owej i na samym końcu od współrzędnej θ-owej : Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od ξ i η: Wzór na potencjał pola podstawiamy do wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego , wykorzystując wzór na pęd uogólniony , wtedy mamy równanie różniczkowe: Równość mnożymy przez m(ξ+η) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych ξ, η i θ mając na uwadze , bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η: Funkcję możemy podstawić do równości i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr β, otrzymujemy dwa poniższe równości:

Równości , rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η w sposób:

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych

Wprowadźmy teraz współrzędne (ξ,η,θ), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne ρ i "z", których definicje są:

Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego ξ zmienia się od jedynki do nieskończoności, a η zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r₁ i r₂, których definicję są i , które definiujemy jako odległości od punktów z=σ i z=-σ, wtedy do tych odległości podstawimy wzory i , otrzymujemy: Z których to z i z wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r₁, r₂ i σ, które są związkami na współrzędne eliptyczne ξ, i η:

Podstawiamy wzory i , które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy: Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję , która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej , współrzędnej η-owej i na samym końcu od współrzędnej θ-owej : Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola przestawiona: Wzór na potencjał pola podstawiamy do wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego , a także wzór na pęd uogólniony , który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: Funkcję możemy podstawić do równości i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: Równanie różniczkowe możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze β: Równości , rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: