Algebra liniowa/Przekształcenia liniowe

Twierdzenie o rzędzie edytuj

null A + rank A = dim V. Bezpośrednią konsekwencją jest twierdzenie Kroneckera–Capelliego.

Wyznacznik przekształcenia edytuj

Opisuje on stosunek dwóch skierowanych miar: miary obrazu bazy przy tym przekształceniu do miary wyjściowej bazy.

Macierz przekształcenia edytuj

Przekształcenie liniowe można reprezentować macierzą, co bardzo upraszcza obliczenia. Składowe wyniku przekształcenia są wtedy "iloczynami skalarnymi" kolejnych wierszy z rzeczonym wektorem. Cudzysłów jest tutaj dlatego, że w ogólności iloczyn skalarny nie jest zdefiniowany przez wzór, lecz aksjomatycznie, przez co nie stosuje się do niektórych przestrzeni -- za to reguły reprezentacji przekształcenia macierzą są bardzo uniwersalne i stosują się też np. do skalarów z ciał skończonych.

Złożenia przekształceń i macierzy edytuj

Iloczyn macierzy – tak jak złożenie funkcji – jest łączny, ale nieprzemienny; właściwość tę można sprawdzić ręcznie, korzystając z definicji. Konsekwencją łączności jest uproszczenie iloczynu potęg: A^n A^m = A^(n+m). Za to nieprzemienność sprawia, że potęga iloczynu w ogólności nie jest iloczynem potęg: (AB)^n =/= A^n B^n.

Można też rozważać wykładniki ujemne oraz dużo rzadziej używane wykładniki ułamkowe. Wykładniki niewymierne też są teoretycznie możliwe, choć przy użyciu bardziej zaawansowanych narzędzi jak logarytm i eksponens macierzy -- podobnie jak przy ogólnym potęgowaniu liczb zespolonych. Taka definicja pozwala nawet na podnoszenie macierzy do potęgi macierzowej, jednak jest to głównie ciekawostka.

Wyznacznik złożenia to iloczyn wyznaczników – tak brzmi twierdzenie Cauchy'ego. Mówiąc bardziej abstrakcyjnie: wyznacznik jest homomorfizmem składania endomorfizmów i mnożenia macierzy kwadratowych.

Grupy i pierścienie endomorfizmów edytuj

  • ogólna grupa liniowa: GL(n);
  • szczególna (specjalna) grupa liniowa: SL(n).

Istotne są też inne grupy, np. ortogonalne i unitarne, jednak są zdefiniowane za pomocą pojęć wyłożonych dalej.

Za pomocą macierzy nxn można też reprezentować elementy n-tej grupy permutacji. Na mocy twierdzenia Cayleya pozwala to przedstawiać elementy dowolnej grupy skończonej.


« Wyznaczniki