Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych λ {\displaystyle \lambda \;} macierzy A {\displaystyle \mathbb {A} \;} :
d e t [ A − λ I ] = 0 {\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0\;}
d e t [ − λ − 1 1 0 − λ 1 − 1 0 1 − λ ] = {\displaystyle det{\begin{bmatrix}-\lambda &-1&1\\0&-\lambda &1\\-1&0&1-\lambda \end{bmatrix}}=\;}
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
= ( λ 2 ( 1 − λ ) + 1 + 0 ) − ( λ + 0 + 0 ) = {\displaystyle ={\Big (}\lambda ^{2}(1-\lambda )+1+0{\Big )}-(\lambda +0+0)=\;}
= λ 2 ( 1 − λ ) + 1 − λ = {\displaystyle =\lambda ^{2}(1-\lambda )+1-\lambda =\;}
= ( 1 − λ ) ( λ 2 + 1 ) {\displaystyle =(1-\lambda )(\lambda ^{2}+1)\;}
Zatem rozwiązaniem równania:
( 1 − λ ) ( λ 2 + 1 ) = 0 {\displaystyle (1-\lambda )(\lambda ^{2}+1)=0\;}
są liczby λ 1 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=1\;} , λ 2 = i {\displaystyle \lambda _{2}=i\;} oraz λ 3 = − i {\displaystyle \lambda _{3}=-i\;}
Rzeczywiste wartości własne
edytuj
Szukamy wektorów własnych C {\displaystyle \mathbb {C} \;} odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej λ 1 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=1\;} .
[ A − λ 1 I ] ⋅ C = 0 {\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}
zatem:
[ − λ 1 − 1 1 0 − λ 1 1 − 1 0 1 − λ 1 ] ⋅ [ c 1 c 2 c 3 ] = [ 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-\lambda _{1}&-1&1\\0&-\lambda _{1}&1\\-1&0&1-\lambda _{1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
następnie:
[ − 1 − 1 1 0 − 1 1 − 1 0 0 ] ⋅ [ c 1 c 2 c 3 ] = [ 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&-1&1\\0&-1&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
co ostatecznie daje układ równań:
{ − c 1 − c 2 + c 3 = 0 − c 2 + c 3 = 0 − c 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}-c_{1}-c_{2}+c_{3}=0\\-c_{2}+c_{3}=0\\-c_{1}=0\end{cases}}\;}
Z ostatniego równania mamy c 1 = 0 {\displaystyle c_{1}=0\;} . Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że c 2 = c 3 = s {\displaystyle c_{2}=c_{3}=s\;} , gdzie s {\displaystyle s\;} jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:
{ c 1 = 0 c 2 = s c 3 = s {\displaystyle {\begin{cases}c_{1}=0\\c_{2}=s\\c_{3}=s\end{cases}}\;}
co w zapisie wektorowym wygląda następująco:
C λ 1 = 1 = [ 0 s s ] {\displaystyle C_{\lambda _{1}=1}={\begin{bmatrix}0\\s\\s\end{bmatrix}}\;}
= s [ 0 1 1 ] {\displaystyle =s{\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}\;}
Zespolone wartości własne
edytuj
Szukamy wektorów własnych C {\displaystyle \mathbb {C} \;} odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej λ 2 = i {\displaystyle \lambda _{2}=i\;} wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej λ 3 = − i {\displaystyle \lambda _{3}=-i\;} .
W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną λ 3 = − i {\displaystyle \lambda _{3}=-i\;} bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.
[ A − λ 2 I ] ⋅ C = 0 {\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{2}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}
zatem:
[ − λ 2 − 1 1 0 − λ 2 1 − 1 0 1 − λ 2 ] ⋅ [ c 1 c 2 c 3 ] = [ 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-\lambda _{2}&-1&1\\0&-\lambda _{2}&1\\-1&0&1-\lambda _{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
[ − i − 1 1 0 − i 1 − 1 0 1 − i ] ⋅ [ c 1 c 2 c 3 ] = [ 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-i&-1&1\\0&-i&1\\-1&0&1-i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
co ostatecznie daje układ równań:
{ − i c 1 − c 2 + c 3 = 0 − i c 2 + c 3 = 0 − c 1 + ( 1 − i ) c 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}-ic_{1}-c_{2}+c_{3}=0\\-ic_{2}+c_{3}=0\\-c_{1}+(1-i)c_{3}=0\end{cases}}}
Z drugiego równania wyznaczamy c 3 = i c 2 = s {\displaystyle c_{3}=ic_{2}=s\;} , gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.
{ c 1 = ( 1 − i ) s c 2 = − i s c 3 = s {\displaystyle {\begin{cases}c_{1}=(1-i)s\\c_{2}=-is\\c_{3}=s\end{cases}}\;}
co w zapisie wektorowym wyrazimy jako
C λ 2 = i = s [ 1 − i − i 1 ] {\displaystyle \mathbb {C} _{\lambda _{2}=i}=s{\begin{bmatrix}1-i\\-i\\1\end{bmatrix}}\;}