Astrofizyka/Mechanika teoretyczna

Formalizm Lagrange'aEdytuj

Równania ruchu Newtona fizyki klasycznej można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a (Joseph Louis Lagrange) z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania  . Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a  

 

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange'a

 

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

 

a siłę jako

 

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona, gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako

 

Szczególną grupą sił, znanych jako siły zachowawcze, mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

 

lub

 

Cząstka swobodnaEdytuj

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym:

 

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

 
 

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej. Właściwe transformacje Galileusza to:

 
 

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v).

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy  ,  , z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy

 

Energia układu fizycznegoEdytuj

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

 .

Zakładając masa punktu materialnego jest stała i δWtotal jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

 ,


gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

 .


Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem

 
 
 .


Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

 

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie zasady zachowania energii.

Formalizm HamiltonaEdytuj

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd { ,  }. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

 

Dla cząsteczki w polu potencjału U

 

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

 
 

Definiując nawiasy Poissona

 

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x,p) z czasem można przedstawić jako

 

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu ( ) to będzie zachowana (stała ruchu) gdy

 

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A,B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujacych jest pęd i położenie

 

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.