Astrofizyka/Mechanika teoretyczna

Formalizm Lagrange'a

Równania ruchu Newtona fizyki klasycznej można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a (Joseph Louis Lagrange) z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania $S[\mathbf {x} (t)]$. Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a $L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)$

$S[\mathbf {x} (t)]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dtL(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)$

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange'a

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}$

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

$p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}$

a siłę jako

$F^{i}(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}$

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona, gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako

$L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}-U(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)$

Szczególną grupą sił, znanych jako siły zachowawcze, mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

$\mathbf {F} =-\nabla U$

lub

$\mathbf {F} ^{i}=-{\frac {\partial {U}}{\partial x^{i}}}=-\partial _{i}U.$

Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym:

$m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=0$

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j}+v^{i}t+x_{0}^{i}$ $t\rightarrow t'=t+t_{0}$

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej. Właściwe transformacje Galileusza to:

$x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+v^{i}t+x_{0}^{i}$ $t\rightarrow t'=t+t_{0}$

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v).

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy ${\vec {u}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$, ${\vec {u'}}={\frac {d{\vec {x'}}}{dt}}$, z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy

${\vec {u'}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$

Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r}$.

Zakładając masa punktu materialnego jest stała i δW_total jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

$\delta W_{\rm {total}}=\delta T$,

gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

$T={m\mathbf {v} ^{2} \over 2}={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}$.

Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem

$\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =-\nabla U\cdot \delta \mathbf {r} =-\delta U$

$\Rightarrow -\delta U=\delta T$

$\Rightarrow \delta (T+U)=0$.

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

$E=T+U={\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {x}} ^{2}+U$

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie zasady zachowania energii.

Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {$x^{i}$, $p^{i}$}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

$H(x,p)=\sum _{i}p_{i}v^{i}(x,p,t)-L(x,p(x,v,t),t)$

Dla cząsteczki w polu potencjału U

$H(p,x)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x,t)$

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

${\frac {dp^{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{i}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x^{i}}}=F^{i}$ ${\frac {dx^{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}$

Definiując nawiasy Poissona

$[A,B]=\sum _{i}({\frac {\partial A}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial B}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial A}{\partial p^{i}}})$

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x,p) z czasem można przedstawić jako

${\frac {dF}{dt}}=-[H,F]+{\frac {\partial F}{\partial t}}$

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu (${\frac {\partial F}{\partial t}}=0$) to będzie zachowana (stała ruchu) gdy

${\frac {dF}{dt}}=0\rightarrow [H,F]=0$

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A,B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujacych jest pęd i położenie

$[x^{i},p^{j}]=\delta _{ij}$

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.