Dyskusja:Matematyka dla gimnazjum

Arytmetyka, liczby, obliczenia

Liczby wymierne 1

1. Działania na liczbach całkowitych (warto przypomnieć razem z kolejnością działań i z nawiasami.)
2. działania na ułamkach
3. zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie, przykłady wykorzystania kalkulatora
4. przybliżenia dziesiętne ułamków zwykłych
5. działania na ułamkach wyrażonych rozwinięciem dziesiętnym (powtórzenie)
6. Porównywanie liczb wymiernych

1. porównywanie ułamków zwykłych
2. porównywanie liczb dziesiętnych

Procenty 1

1. zamiana procentów na ułamki dziesiętne i zwykłe, zamiana ułamków na procenty (także z użyciem kalkulatora, przybliżenia)
2. obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga,także z użyciem kalkulatora, przybliżenia)
3. obliczanie procentu liczby,

Procenty 2

1. obliczanie liczby zwiększonej/zmniejszonej o pewien procent wprost i jako odpowiednie mnożenie
2. obliczanie liczby ze znajomości jej procentu (odsetka)
   • przedstawianie danych na prostokącie i kole

Proporcje

1. Proporcja np. 2 : 3 i podział pewnej wielkości na dwie części w stosunku 2 : 3.
2. Proporcja np. 2 : 3 : 5 i podział pewnej wielkości na trzy części w stosunku 2 : 3 :5
3. Mieszaniny
4. Proporcjonalność prosta

   Wielkości proporcjonalne $y=kx$ (k może być albo dodatnie albo ujemne)

   Proporcjonalność odwrotna $yx=k$ (k może być albo dodatnie albo ujemne) y jest odwrotnie proporcjonalne do x można wypowiedzieć, że y jest proporcjonalne do odwrotności x.

   Przykład równowagi na równoważni.

Potęga o wykładniku całkowitym; własności potęgowania

1. obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających potęgi
2. twierdzenia o iloczynie i ilorazie potęg o tych samych wykładnikach oraz o tych samych podstawach
3. twierdzenie o potęgowaniu potęgi
4. zapis wykładniczy z dodatnim wykładnikiem $ax10^{n}$, 1≤a<10
5. zamiana jednostek

Przykłady pierwiastków

np. obliczając bok kwadratu z pola, krawędź sześcianu z objętości; przykłady liczb niewymiernych. Budowanie przeświadczenia, że liczby nawet niekwadratowe mają pierwiastki, których wartość można określać z dowolną dokładnością po przecinku. Można się wspomóc kalkulatorem, ale nie naciskając znaku pierwiastek.

pierwiastek kwadratowy liczby a na niektórych kalkulatorach to $a^{\frac {1}{2}}$. Dlaczego?

Algebra

Wyrażenia algebraiczne (1)

1. Zapisywanie wyrażeń algebraicznych

   Wyrażenia o prostej konstrukcji, dotyczące przykładów z życia. Przykład: W klasie Ia jest k uczniów, a w klasie Ib m uczniów. Ilu uczniów razem jest w obu klasach pierwszych?

   Dużo różnorodnych przykładów z użyciem symboli literowych w celu przekonania, że warto czasami liczyć "na literach", a wstawiać konkretne wartości liczbowe dopiero na końcu. Przykład: Wymiary opisane literkami, pola czy objętości na podstawie rysunku wymiarowanego literkami, zagadki typu: pomyśl liczbę…

2. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych
   • Proste przykłady pod względem rachunkowym, nie wymagające określania dziedziny wyrażenia

Wyrażenia algebraiczne (2)

1. równość wyrażeń algebraicznych

   sprawdzanie równości algebraicznych dla paru konkretyzacji i na tym budowanie pojęcia równości (równoważności) lub nie-równości (nierównoważności) wyrażeń algebraicznych.

   dowody geometryczne. Przykład: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd .

   odróżnienie znaku równości jako tożsamości i jako znaku zapytania, dla jakich wartości równość zachodzi.(To musi być powtórzone, być może, w paru miejscach. Uwaga = ≠ =.)

2. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

1. Wyrażenia z jedną zmienną i z wieloma zmiennymi
2. Jednomian wielu zmiennych i jednaj zmiennej
3. porządkowanie jednomianów
4. określanie współczynnika liczbowego jednomianu,
5. mnożenie jednomianów przez jednomian,
6. jednomiany przeciwne,
7. jednomiany podobne.

przekształcanie wyrażeń algebraicznych, to znajdywanie wyrażeń równych, choć inaczej zapisanych.

Wyrażenia algebraiczne (3)

1. Suma algebraiczna jednomianów (dlaczego suma „chwyta” przypadki z odejmowaniem)
2. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
3. Mnożenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
4. Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę i jednomian
5. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias (to będzie nowe dla prawie wszystkich po SP)

Uwaga. Ostatnie podpunkty mogą być znane niektórym absolwentom SP, ale…

Równania

• podkreślenie różnicy pomiędzy tożsamością a równaniem, co to jest rozwiązanie równania, co to znaczy rozwiązać równanie.
• równania równoważne (co to są równania równoważne, zastępowanie wyrażeń algebraicznych równoważnymi i takie same odwracalne przekształcenia obu stron równania)
• proste równania pierwszego stopnia
• przykłady wywodzące się z różnych kontekstów

najłatwiejsze: $2x-2=0\,$

najtrudniejsze: $3(x+4)={\frac {2}{3}}x+5$

• Przekształcanie wzorów, to jest przekształcanie równań

Nierówności

• proste nierówności jednej zmiennej (nierówności równoważne, co to znaczy rozwiązać nierówność, sytuacje, których modelem matematycznym jest nierówność i rozwiązywanie tej nierówności, zaznaczanie rozwiązania na osi.

Kartezjański układ współrzędnych

Punkty i pary liczb, czyli współrzędne

• Wprowadzenie i elementarne ćwiczenia.

Wykresy funkcji

• przykłady wykresów funkcji wyznaczanych empirycznie w kartezjańskim układzie współrzędnych (jak odczytywać, jak zrobić tabelkę dla wybranych wartości, jak określić, co od czego zależy (żelazna umowa, że to na pionowej zależy od tego na poziomej), czy zależne rośnie, gdy niezależne rośnie i wiele, wiele innych. Różnorodne przykłady. Bardziej wizualnie i intuicyjnie niż analitycznie. Wśród wykresów warto rozpoznać proporcjonalność prostą. Być może pokazać kształt proporcjonalności odwrotnej

Uwaga. w nowych podstawach nie ma właściwie funkcji jako takich. To chyba po prostu jest niedopatrzenie.Funkcje jako wzory pojawiają się w innych przedmiotach i nie ma powodu, żeby się na tym nie oprzeć. Generalnie widziałbym ten moduł/lik jako przykłady różnych wzorów i przedstawianie jednej ze zmiennych jako funkcja pozostałych. Nawiązanie do fizyki. Nawiązanie do geometrii – pole trójkąta, trapezu i wyznaczanie jednej ze zmiennych przez pozostałe. Przy okazji tworzenie języka funkcji. Warto też podać algorytmiczny sposób określania funkcji. Przykład: weź dowolną liczbę x, podnieś ją do kwadratu i dodaj 1. Wynik nazwij f(x). Wtedy warto wprowadzić notację x strzałka f(x) lub x strzałka f(x)=x^2+1.) Różne sposoby zadawania funkcji.

Geometria

Kąty

1. przykłady formułowania definicji pojęć
2. rodzaje kątów
3. kreślenie kątów o zadanej mierze
4. konstrukcja kąta równego narysowanemu
5. kąt jako figura i kąt jako miara obrotu dookoła punktu
6. Azymut

Kąty i proste

1. konstrukcja prostych równoległych i prostopadłych (dodawanie odcinków trochę wcześniej, potem jeszcze przed rodzajami kątów)
2. proste równoległe przecięte trzecią prostą

Klasyfikacja i kreślenie wielokątów

1. Konstrukcja identycznych trójkątów i czworokątów konstrukcyjnie (na razie bez słowa konstrukcyjnie, a za pomocą tylko cyrkla i linijki.)
2. Cechy przystawania trójkątów.

Symetria osiowa

1. rozpoznawanie figur symetrycznych
2. uzupełnianie rysunków tak, aby figury były symetryczne
3. rysowanie figur symetrycznych
4. wyznaczanie osi symetrii figury
5. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta i ich konstrukcje;

wersja z animacjami

Kąt środkowy i kąt wpisany

1. Koło okrąg
2. Kąt środkowy i wpisany
3. własności kątów opartych na tym samym łuku

Twierdzenie Pitagorasa

Związki między bokami w trójkącie prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania;

1. wyznaczanie długości boków trójkąta prostokątnego
2. wyznaczanie wysokości trójkąta równoramiennego i równobocznego oraz przekątnej prostokąta
3. rozpoznawanie trójkątów prostokątnych na podstawie długości boków

Obwód i pole wielokąta

1. pole trójkąta, prostokąta, równoległoboku, trapezu oraz dowolnego wielokąta będącego sumą innych wielokątów
2. Taka mała zasada Cavaleriego dla pól.
3. pole rombu z zastosowaniem długości przekątnych i czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Pole koła i długość okręgu

1. liczba π (nawiązać do proporcjonalności)
2. obliczanie długości okręgu o danym promieniu,
3. wyznaczanie promienia mając daną długość okręgu
4. obliczanie pola koła o danym promieniu,
5. wyznaczanie promienia mając dane pole

Długość okręgu

Prostopadłość i równoległość

Prostopadłość i równoległość w przestrzeni na przykładach brył

Graniastosłupy proste (i pochyłe)

1. rozpoznawanie i rysowanie rzutów równoległych graniastosłupów (na jedną płaszczyznę bez perspektywy)
2. siatki graniastosłupów
3. obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości sześcianu
4. obliczanie pól powierzchni i objętości graniastosłupów

Uwaga na wysokość.

Ostrosłupy foremne (i nieforemne)

1. rozpoznawanie i rysowanie rzutów równoległych ostrosłupów
2. obliczanie pól powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupów
3. obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości czworościanu

Uwaga na wysokość.

Statystyka opisowa i modele losowe

Statystyka opisowa i wprowadzenie do prawdopodobieństwa

Dane nieliczbowe Dane liczbowe

• Opis zbioru danych: moda, mediana i kwartyle
• Wykres pudełkowy.
• Wartość średnia.

(Dane rzędu 20 wyników.)

• Dane z podanymi częstościami i znowu moda, mediana i kwartyle. Wykres słupkowy.

Proste doświadczenia losowe (częstość a prawdopodobieństwo)

• Badanie częstości występowania orła w rzutach monetą (częstość, częstość względna, prawdopodobieństwo)
• Rozkład wyników w rzutach kostką (częstość, częstość względna, prawdopodobieństwo)
• zdarzenia możliwe, niemożliwe, pewne

---