Liczby zespolone/Liczby zespolone

Liczby zespolone

$(a,b)\!\;$ ?

Ze względu na sposób rozpięcia przestrzeni (płaszczyzny) - liczby zespolone, jak nazwa wskazuje, są złożone: z części określającej położenie na osi rzeczywistej $\operatorname {Re} \;$ oraz urojonej $\operatorname {Im} \;$. W roku 1833 William Hamilton (1805-1865) stwierdził, że skoro liczby rzeczywiste w kartezjańskim układzie współrzędnych można było zapisywać w postaci pary współrzędnych (x,y), to czemu nie zastosować tego sposobu dla liczb zespolonych?

Stąd powstał:

$z=(a,b)\!\;$

(zapis liczby zespolonej jako pary współrzędnych)

Zbiór wszystkich liczb zespolonych będzie więc rozpięty w opisanej wcześniej płaszczyźnie liczb zespolonych, której początkiem jest punkt $z=(0,0)\!\;$.

Liczbę zespoloną $z=(a,b)\;$ na płaszczyźnie $\mathbb {C} \;$ przedstawia się tak, jak robiło się to z punktami innych układów dwuwymiarowych: w postaci punktu o współrzędnych (a,b) lub w postaci wektora o początku w punkcie O(0,0) i końcu w (a,b).

Jak szybko zauważymy, wszystkie liczby typu $z=(a,0)\!\;$ będą położone na osi Re - stąd wniosek że możemy je utożsamiać z liczbami rzeczywistymi. Natomiast wszystkie liczby $z=(0,b)\!\;$ odnajdziemy na osi Im - są liczbami urojonymi.

Mając już zdefiniowaną liczbę zespoloną, warto jest zastanowić się nad własnościami tych liczb. W podręczniku nieustannie powtarzamy, że liczby zespolone to twory matematyczne mające uzupełnić przestrzeń liczb rzeczywistych - toteż poddane różnego rodzaju operacjom powinny się one poniekąd zachowywać podobnie. Toteż poniżej wypisano własności liczb zespolonych.

Własności liczb zespolonych

Dowolne liczby zespolone w określonych przypadkach podstawowych działań matematycznych wykazują własności:

1. nie reagują w dodawaniu z zerem:

   $0+z=z\!\;$,

2. nie reagują w mnożeniu z 1, liczbą $1=(1,0)\;$:

   $1\cdot z=z\;$,

3. liczba przeciwna do $z=(a,b)\!\;$ to $-z=(-a,-b)\!\;$:

   $z+(-z)=0\!\;$,

4. przemienność dodawania:

   $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}\!\;$,

5. łączność dodawania:

   $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})\!$,

6. przemienność mnożenia:

   $z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}\!\;$,

7. łączność mnożenia:

   $z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})=(z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}\!\;$,

8. rozdzielność mnożenia względem dodawania:

   $z_{1}\cdot (z_{2}+z_{3})=z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}\cdot z_{3}\!\;$

9. liczba odwrotna do $z=(a,b)\!\;$ to ${\frac {1}{z}}=({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}})\!\;$:

   $z\cdot {\frac {1}{z}}=1\;$,