Liczby zespolone/Postać trygonometryczna

Postać trygonometryczna

Leonhard Euler bardzo zainteresował się pracami Wessela, Gaussa i Arganda. Pozwoliły one bowiem na proste przyswojenie sobie poglądu na liczby zespolone - i potraktowanie ich jako liczb faktycznie istniejących w matematyce.

Dysponując znajomością biegunowego sposobu zapisu liczb zespolonych, na pewno rzucą nam się w oczy pewne zależności, pozwalające zapisać poszczególne części liczby zespolonej jako złożenie funkcji trygonometrycznych. Wystarczy tylko ponownie przyjrzeć się wzorom Argranda z poprzedniego działu. W końcu sam argument liczby zespolonej opisany jest funkcją tangensa.

Biegunowy opis liczby zespolonej

Zwróćmy więc uwagę, na zależności trygonometryczne trójkąta prostokątnego - skoro w ogólnym przypadku funkcja tangens jest złożeniem funkcji sinus i cosinus, postaci: $\tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}$ to warto zbadać wartości tych funkcji dla liczb zespolonych. Zobaczmy więc, z definicji funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, co otrzymamy:

cosinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta, do przeciwprostokątnej

$\cos(\varphi )={\frac {a}{|z|}}$

sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta, do przeciwprostokątnej

$\sin(\varphi )={\frac {b}{|z|}}$

Dociekliwi zauważą, że w tych równaniach możemy znaleźć trygonometryczny opis dla wartości realnej jak i wyimaginowanej z pomocą parametrów biegunowych.

Stąd też wartość rzeczywistą liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i cosinusa:

$\operatorname {Re} (z)=|z|\cdot \cos(\varphi )$

Natomiast wartość urojoną liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i sinusa:

$\operatorname {Im} (z)=|z|\cdot \sin(\varphi )$

Podstawiając te wartości do wzoru na postać algebraiczną liczby zespolonej, określoną wzorem:

$z=\operatorname {Re} (z)+i\operatorname {Im} (z)$

otrzymamy:

$z=|z|\cdot \cos(\varphi )+|z|\cdot i\sin(\varphi )$

Własności postaci trygonometrycznej

• Jeśli moduł liczby zespolonej $|z|=0$, to sama liczba zespolona wynosi zero: $z=0$ oraz jej argument: $\varphi =0$.
• Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe: $|z_{1}|=|z_{2}|\!$ oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej, postaci:  $\varphi _{1}=\varphi _{2}+2k\pi ,\;{\mbox{dla}}\;k\in \mathbb {Z}$.

• Mnożenie liczb zespolonych $z_{1}=|z_{1}|\cdot (\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})$ oraz $z_{2}=|z_{2}|\cdot (\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$ ma postać:

  $z_{1}\cdot z_{2}=|z_{1}\cdot z_{2}|\cdot \left[\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})\right]$

  Słownie przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy

• Dzielenie liczb zespolonych $z_{1}=|z_{1}|\cdot (\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})$ oraz $z_{2}=|z_{2}|\cdot (\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$ ma postać:

  ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|\cdot \left[\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right]$

  Słownie przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy

.