Liczby zespolone/Postać trygonometryczna

Postać trygonometrycznaEdytuj

Leonhard Euler bardzo zainteresował się pracami Wessela, Gaussa i Arganda. Pozwoliły one bowiem na proste przyswojenie sobie poglądu na liczby zespolone - i potraktowanie ich jako liczb faktycznie istniejących w matematyce.


Dysponując znajomością biegunowego sposobu zapisu liczb zespolonych, na pewno rzucą nam się w oczy pewne zależności, pozwalające zapisać poszczególne części liczby zespolonej jako złożenie funkcji trygonometrycznych. Wystarczy tylko ponownie przyjrzeć się wzorom Argranda z poprzedniego działu. W końcu sam argument liczby zespolonej opisany jest funkcją tangensa.

Zwróćmy więc uwagę, na zależności trygonometryczne trójkąta prostokątnego - skoro w ogólnym przypadku funkcja tangens jest złożeniem funkcji sinus i cosinus, postaci:   to warto zbadać wartości tych funkcji dla liczb zespolonych. Zobaczmy więc, z definicji funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, co otrzymamy:

cosinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta, do przeciwprostokątnej
 
sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta, do przeciwprostokątnej
 

Dociekliwi zauważą, że w tych równaniach możemy znaleźć trygonometryczny opis dla wartości realnej jak i wyimaginowanej z pomocą parametrów biegunowych.

Stąd też wartość rzeczywistą liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i cosinusa:

 

Natomiast wartość urojoną liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i sinusa:

 

Podstawiając te wartości do wzoru na postać algebraiczną liczby zespolonej, określoną wzorem:

 

otrzymamy:

 

Własności postaci trygonometrycznejEdytuj

  • Jeśli moduł liczby zespolonej  , to sama liczba zespolona wynosi zero:   oraz jej argument:  .
  • Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe:   oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej, postaci:   .
  • Mnożenie liczb zespolonych   oraz   ma postać:
     
    Słownie przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy
  • Dzielenie liczb zespolonych   oraz   ma postać:
     
    Słownie przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy
Następny rozdział: Postać wykładnicza. Poprzedni rozdział: Argument liczby.

Podręcznik: Liczby zespolone.

.