Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru
Kontrowersje
edytujAksjomat wyboru wśród innych aksjomatów teorii mnogości wywołuje wśród matematyków wiele kontrowersji. Jest to bowiem aksjomat, który definiuje istnienie zbioru bez podania jego konstrukcji. W matematyce pojawił się dość wcześnie, jednak jego sformułowanie podał dopiero w roku 1904 Ernst Zermelo (praca [1]). Właśnie wtedy rozpoczęło się najwięcej dyskusji na ten temat. Uważano bowiem, że dowody, które korzystały z pewnika wyboru, miały, z uwagi na charakter aksjomatu, inną naturę, aniżeli dowody bez pewnika. Jego zadziwiające konsekwencje pokazali Stefan Banach i Alfred Tarski, udowodnili bowiem, że przy użyciu pewnika wyboru da się rozłożyć kulę na skończoną liczbę części, a następnie złożyć z nich przez pewne przekształcenia, dwie identyczne z pierwszą kulą. Stąd też rozróżnienie przy definiowaniu systemu i opartej na nim teorii zbiorów na teorię mnogości ZF (model bez pewnika wyboru), w której czasami przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru i ZFC (model z dodanym pewnikiem wyboru).
Definicja
edytujDla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych i niepustych, istnieje zbiór S, który ma przekrój jednoelementowy z każdym ze zbiorów |
Kwantyfikatorowo:
Aksjomat wyboru zwyczajowo oznacza się skrótem AC (z ang. Axiom of Choice). Twierdzenie, których dowody będą używały pewnika wyboru, będziemy oznaczali przez
Sformułowania i twierdzenia równoważne
edytujDla każdej rodziny zbiorów niepustych istnieje funkcja f określona na zbiorze S taka, że dla każdego
Zbiór wartości tej funkcji nazywamy selektorem.
Twierdzenie Zermelo (o dobrym uporządkowaniu). Dla każdego zbioru A istnieje relacja < dobrze porządkująca zbiór A
Lemat Kuratowskiego-Zorna. Jeśli dla każdego łańcucha , gdzie X jest zbiorem uporządkowanym, istnieje element maksymalny, to X też ma element maksymalny.
Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych, jej produkt jest zbiorem niepustym.
Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie
Twierdzenie Zermelo implikuje, że dla każdej rodziny zbiorów niepustych, parami rozłącznych, istnieje selektor.
Dowód. Niech będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech . Z twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze . Niech teraz będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru . Ponieważ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny.
Bibliografia
edytuj[1] Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 (1904), 514-516.