Logika i teoria mnogości/Aksjomaty teorii mnogości

Aksjomaty Zermela-FraenklaEdytuj

Aksjomat jednoznacznościEdytuj

 

Aksjomat ten mówi, że jedynym kryterium, które rozstrzyga o tym, czy dane zbiory są takie same, jest to jakie elementy się w nim znajdują. Nie istnieje natomiast żadna inna cecha, która może wpływać na równość zbiorów. Z drugiej strony - jeżeli chcemy pokazać, że dane dwa zbiory są równe należy pokazać, że wszystkie elementy należące do jednego z nich, należą też do drugiego i odwrotnie. Żeby pokazać, że dwa zbiory są różne, należy znaleźć element, który należy tylko do jednego z nich.

Zawieranie zbioru A w zbiorze B jest własnością, którą przypisujemy, gdy zachodzi następujący warunek:

 

Mówimy czasami też, że A jest podzbiorem zbioru B.

Przy oznaczaniu nie panuje jednomyślność - czasami używa się też następującego, równoważnego symbolu:  , który dodatkowo podkreśla możliwość równości zbiorów - formalnie oznacza jednak to samo i dlatego, w dalszej części książki będzie stosowany  . Natomiast symbol   oznacza:

 .

Podzbiór spełniający powyższą właściwość nazywany jest podzbiorem właściwym.

Uwaga 1:  ,   itd.

Uwaga 2:  .

Aksjomat zbioru pustegoEdytuj

 

Aksjomat mówi, że istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element - innymi słowy zbiór pusty. Znak   jest standardowym oznaczeniem zbioru pustego. Co więcej - na podstawie aksjomatu jednoznaczności możemy zauważyć, że istnieje tylko jeden taki zbiór.

Dowód:

Niech   - dwa zbiory puste. Na mocy aksjomatu zbioru pustego zachodzi:

 

 

A tym samym -  .

Z kolei na mocy aksjomatu jednoznaczności ostatnia równoważność jest równoważna równości zbiorów. Stąd  .

Aksjomat paryEdytuj

 

Aksjomat ten postuluje istnienie dla każdej pary zbiorów istnienie takiego zbioru, którego elementami są tylko i wyłącznie te dwa zbiory i nic więcej. Dla zbiorów A i B taki zbiór oznaczamy przez  . Warto zwrócić tutaj uwagę, że kolejność wypisywania elementów nie ma znaczenia, tzn.  = .

Uwaga 1:   - zarówno równość jak i nierówność wynikają z aksjomatu jednoznaczności.

Uwaga 2: Dysponując wymienionymi aksjomatami możemy niejako wyprodukować nieskończenie wiele zbiorów. Zauważmy:  ,  ,  , ...

Aksjomat sumyEdytuj

 

Dla każdego zbioru A istnieje zbiór którego elementami są elementy elementów zbioru A. Jest to pojęcie dużo ogólniejsze od zwyczajnej, "naturalnej" sumy, którą można teraz łatwo zdefiniować:

 

Aksjomat zbioru potęgowegoEdytuj

 

Dla każdego zbioru A istnieje zbiór składający się tylko i wyłącznie z jego podzbiorów. Zbiory takie nazywamy zbiorami potęgowymi danego zbioru A. Czasami pojawia się też równoważne oznaczenie:  .

Uwaga 1:  

Aksjomat zastępowaniaEdytuj

Niech P(X,Y) - dwuargumentowy predykat.

 

Niech istnieje warunek dwuargumentowy P taki, że jeżeli P(q,p) i P(q,r) jest prawdą, to zachodzi p=r.

Wówczas dla każdego zbioru A istnieje taki zbiór, który składa się tylko z tych elementów, które odpowiadają elementom zbioru A względem predykatu P.

Predykat tego typu bywa nazywany predykatem funkcyjnym, ponieważ można go zastąpić funkcją (pojęcie i definicja funkcji pojawi się w dalszej części książki). Poprzednik implikacji jest właśnie warunkiem predykatu funkcyjnego.

Intuicyjnie powyższy aksjomat możemy rozumieć następująco: jeżeli mamy jakieś elementy, spośród których możemy wskazać zbiór A, a każdy element możemy jednoznacznie połączyć w parę z innym elementem, to możemy też wskazać zbiór elementów sparowanych z elementami zbioru A.

Aksjomat wycinaniaEdytuj

Czasami podając aksjomatykę teorii mnogości zamiast aksjomatu zastępowania podaje się słabszy aksjomat wycinania. Aksjomat ten można wyprowadzić z powyższych aksjomatów (dlatego nie jest potrzebny, jeżeli przyjmujemy aksjomat zastępowania), mimo to warto go tutaj zaprezentować:

Niech P - jednoargumentowy predykat.

 

Czyli dla każdego zbioru A istnieje taki jego podzbiór B, który składa się tylko z tych elementów zbioru A, które spełniają predykat P.

Dowód aksjomatu wycinania na gruncie aksjomatu zastępowania i aksjomatu zbioru pustego przebiega następująco: niech P1 - predykat jednoargumentowy, taki jak w aksjomacie wycinania, niech P2 - predykat dwuargumentowy, taki jak w aksjomacie zastępowania. Dla każdego predykatu P1 definiujemy predykat P2 następująco:

 

przy czym P1(y) jest prawdą i  . Jeżeli taki element y nie istnieje, to zbiór B wymieniony w aksjomacie jest zbiorem pustym -  .

Aksjomat regularnościEdytuj

 

Aksjomat ten mówi tyle, że dla każdego zbioru A musi istnieć jakiś jego element a rozłączny z A tzn. nie posiadający elementów wspólnych.

Czasami rozważa się układ aksjomatów z pominięciem aksjomatu regularności - rozważane są wówczas tzw. hiperzbiory.

Uwaga 1: Z powyższego aksjomatu wynika, że  . Rozważmy zbiór {x}. W myśl aksjomatu regularności każdy element albo należy do zbioru x albo należy do zbioru {x}. Z tego wynika, że jedyny element zbioru {x} nie może należeć do zbioru x, czyli, że  .

Aksjomat nieskończonościEdytuj

 

Istnieje zbiór  , do którego należy zbiór pusty a także dla dowolnego elementu x zbioru   należy do niego również suma teoriomnogościowa tego elementu i singletonu tego zbioru:  .

Uwaga 1: Szczególnym przykładem zbioru induktywnego jest zbiór liczb naturalnych, o czym można będzie przeczytać dalej.

Aksjomat wyboruEdytuj

Niech X - rodzina zbiorów (czyli zbiór zbiorów) niepustych i parami rozłącznych.

 

Zbiór A bywa nazywany selektorem.

Hipoteza continuumEdytuj

Hipoteza continuum pojawi się w dalszej części książki, gdzie będzie zrozumiałe skąd się wzięła i co się z nią wiąże. Tymczasem i dla porządku jej postać w formie słownej:

Nie istnieje zbiór mocy mniejszej od mocy zbioru liczb rzeczywistych i jednocześnie mocy większej niż zbiór liczb naturalnych.

Warto zaznaczyć, że rozważa się zarówno teorie przyjmujące hipotezę continuum, jak i te przyjmujące jej zaprzeczenie.