Logika i teoria mnogości/Algebra zbiorów

Podstawowe wiadomościEdytuj

Jeśli a jest elementem zbioru  , zapisujemy to  .

Zamiast  , w skrócie zapisujemy  .

  jest skrótem zapisu  .

Zbiory definiuje się poprzez określenie ich elementów. Z aksjomatu jednoznaczności wynika, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są identyczne. Elementy zbioru można określić przez ich wyliczenie, w ten sposób   to zbiór zawierający jedynie a, b, c i d. Zbiór można również zdefiniować za pomocą warunku, który muszą spełniać jego elementy. Mając więc jakiś warunek (własność)   np. podzielność przez 7 można zdefiniować zbiór   w następujący sposób :

 

Tak zdefiniowany zbiór   można zapisać również :

  (co czytamy "zbiór   to zbiór takich x, że spełniony jest warunek  ")

Zbiór elementów x należących do zbioru   i spełniających warunek   oznaczamy przez

 

Rodziny zbiorówEdytuj

Zbiory również mogą być elementami innych zbiorów. Nazywa się je rodzinami zbiorów.

Przyjmuje się, że nie istnieje taka rodzina zbiorów  , że  , skąd w szczególności wynika  .

InkluzjaEdytuj

Piszemy  , jeśli każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B, tzn. :

 

Mówimy wtedy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B. Jeśli ponadto  , to A jest podzbiorem właściwym zbioru B. Relacja   nazywana jest inkluzją. Ma ona następujące własności:

  •  
  •  
  •  

Działania na zbiorachEdytuj

Ze zbiorów A i B możemy utworzyć nowe zbiory:

  • sumę :  
  • iloczyn :  
  • różnicę : 

Określa się je w następujący sposób:

  •  
  •  
  •  

Ponadto zbiory są rozłączne, jeśli  .

Jeżeli wszystkie zbiory są podzbiorami pewnego zbioru, to zbiór ten nazywamy przestrzenią i oznaczamy przez  .

Dopełnieniem zbioru A nazywamy  , co można zapisać przez   lub   lub  .

Różnicą symetryczną określamy  

Para uporządkowana. Uporządkowane krotkiEdytuj

Przez parę uporządkowaną rozumiemy  , która spełnia pewną szczególną własność :

 

Konstrukcję za pomocą zbiorów obiektu o takiej własności podał polski matematyk Kazimierz Kuratowski. Wygląda ona następująco :

 

Uporzadkowaną trójką nazywamy zbiór  .

Uporządkowaną n-tką (krotką)   nazywamy zbiór  .

Iloczyn kartezjańskiEdytuj

Iloczyn kartezjański   definiujemy następująco :