Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „dupa dupa dupa” |
m Wycofano edycje użytkownika 193.138.241.140 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MonteChristof. |
||
Linia 1:
{{DoPracowania|niedokończone (sekcje na końcu są puste)}}
=Pochodna funkcji=
{{Definicja2|1=Pochodną funkcji f(x) w punkcie x<sub>0</sub> nazywamy:
<div align=center>
<math>f'(x_0) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h} </math>
</div>
}}
Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:
<div align=center>
<math>f'(x_0) = \left . \frac{df}{dx} \right |_{x_0} =\left . \frac{dy}{dx} \right |_{x_0} = \left . \frac{d}{dx} f \right |_{x_0} = \dot f(x_0)</math>
</div>
Jeżli założymy, że <math>y = ax + b\,</math> jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy <math>a\,</math> prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie <math>\Big(x_0, f(x_0)\Big)</math>. Możemy zatem zapisać:
<math>f' (x_0) = \tan \alpha\,</math>, gdzie <math>\alpha</math> to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji, a półosią x.
{{Uwaga|1=Ponieważ z pochodnej funkcji korzystamy w wielu innych dziedzinach nauk ścisłych (np. fizyka, chemia, itp.), w rozwiązywanych przykładach często będziemy odchodzić od konwencji oznaczeń stosowanej w definicjach i twierdzeniach, tzn.:
*nazwy funkcji literami f, g, h, ...
*wartości funkcji literą y
*argumentu funkcji literą x.
Nie warto przywiązywać się do jakichkolwiek oznaczeń dla nazw funkcji, jak i ich argumentów. Na przykład prędkość w fizyce definiujemy jako pochodną położenia po czasie:
<div align=center>
<math>v = p'(t) = \frac{d}{dt} p</math>
</div>
}}
W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.
==Pochodna sumy funkcji==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
<math>\Big[ f+g \Big]'(x) = f'(x) + g'(x)</math>
</div>
}}
Przykład
<math>y=x^2+x</math><br>
<math>y'=[x^2+x]'</math><br>
<math>y'=[x^2]'+[x]'</math><br>
<math>y'=2x+1</math>
==Pochodna iloczynu funkcji==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
<math>\Big[ f\cdot g \Big]'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>
</div>
}}
Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.
<math>
\Bigg[ f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \cdot m(x) \Bigg]' =
</math>
iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.
<math>
= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Big[g(x) \cdot h(x) \cdot m(x) \Big]'=
</math>
Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.
<math>
= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Bigg[ g'(x) \cdot h(x) \cdot m(x) + g(x) \cdot \Big[ h(x) \cdot m(x) \Big]' \Bigg]=
</math>
Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:
<math>
= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Bigg[ g'(x) \cdot h(x) \cdot m(x) +
g(x) \cdot \Big[ h'(x) \cdot m(x) + h(x) \cdot m'(x) \Big] \Bigg]=
</math>
==Pochodna ilorazu funkcji==
{{Twierdzenie|1=
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne <math>f(x), g(x)\ne0</math>:
<div align=center>
<math>\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}</math>
</div>
}}
Przykład
<math>y=\frac{\sin x}{x}</math><br>
<math>y'=\frac{(\cos x \cdot x) - (\sin x \cdot 1)}{x^2} </math></br>
==Pochodna funkcji złożonej==
{{Twierdzenie|1=Dla funkcji różniczkowalnych ''f'' i ''g'':
<div align=center>
<math>(f\circ g)'(x) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math>
</div>
}}
==Pochodne funkcji elementarnych==
:{| style="text-align: center; width: 75%; margin: 0 auto; border-collapse: collapse" border="1" cellpadding="4" cellspacing="1"
|-style="background: #AABBCC;"
!width="40%"|Funkcja
!width="30%"|Pochodna
!width="30%"|Uwagi
|-
| <math>c</math>
| <math>0</math>
| <math>c \in \mathbb R</math>
|-
| <math>x</math>
| <math>1</math>
|
|-
| <math>x^n</math>
| <math>nx^{n-1}</math>
| <math>n \in \mathbb R </math>
|-
| <math>ax+b</math>
| <math>a</math>
|
|-
| <math>ax^2 + bx + c</math>
| <math>2ax + b</math>
|
|-
| <math>a \over x</math>
| <math>-a \over x^2</math>
| <math>x \ne 0</math>
|-
| <math>\sin x</math>
| <math>\cos x</math>
|
|-
| <math>\cos x</math>
| <math>-\sin x</math>
|
|-
| <math>\operatorname{tg} x</math>
| <math>1 \over cos^2 x</math>
| <math>x \ne {\pi \over 2}+k\pi,\; k \in \mathbb Z</math>
|-
| <math>\operatorname{ctg} x</math>
| <math>-{1 \over \sin^2 x}</math>
| <math>x\not=k\pi,\; k \in \mathbb Z</math>
|-
| <math>e^x</math>
| <math>e^x</math>
|
|-
| <math>a^x</math>
| <math>a^x \ln a</math>
| <math>a>0</math>
|-
| <math>x^x</math>
| <math>x^x (1+\ln x)</math>
|
|-
| <math>\ln x</math>
| <math>1 \over x</math>
| <math>x>0</math>
|-
| <math>\log_a x</math>
| <math>1 \over x\ln a</math>
|
|-
| <math>\operatorname{arcsin} x</math>
| <math>1 \over \sqrt {1 - x^2}</math>
| <math>|x|<1</math>
|-
| <math>\operatorname{arccos} x</math>
| <math>-1 \over \sqrt{1 - x^2}</math>
| <math>|x|<1</math>
|-
| <math>\operatorname{arctg} x</math>
| <math>1 \over 1 + x^2</math>
|
|- align=center
| <math>\operatorname{arcctg} x</math>
| <math>-1 \over 1 + x^2</math>
|
|-
| <math>\sqrt x</math>
| <math>1 \over 2 \sqrt x</math>
| <math>x>0</math>
|-
| <math>\sqrt[n] x</math>
| <math>1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}}</math>
| <math>x>0</math>
|-
| <math>\operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}</math>
| <math>\operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}</math>
|
|-
| <math>\operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}</math>
| <math>\operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}</math>
|
|-
| <math>\operatorname{tgh}x = {\operatorname{sinh}x \over \operatorname{cosh}x}</math>
| <math>{1 \over \operatorname{cosh}^2x} = {4 \over ({e^x + e^{-x}})^2}</math>
|
|-
| <math>\operatorname{artgh}x = {1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x}</math>
| <math>1 \over 1-x^2</math>
| <math>|x|<1</math>
|-
| <math>\operatorname{arctgh}x = {1 \over 2}\ln {x+1 \over x-1}</math>
| <math>-1 \over 1-x^2</math>
| <math>|x|>1 \;</math>
|-
| <math>\ln (x+\sqrt{x^2 \pm a^2})</math>
| <math>1 \over \sqrt{x^2 \pm a^2}</math>
|
|}
=Pochodna cząstkowa funkcji=
=Ekstremum funkcji=
Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie <math>x_0</math> równa 0 i druga pochodna jest różna od 0, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.
# Jeśli druga pochodna <math>f''(x)</math> w pukcie <math>x_0</math> jest ujemna, to <math>f(x)</math> w punkcie <math>x_0</math> ma maksimum lokalne.
# Jeśli druga pochodna <math>f''(x)</math> w pukcie <math>x_0</math> jest dodatnia, to <math>f(x)</math> w punkcie <math>x_0</math> ma minimum lokalne.
# Jeśli druga pochodna <math>f''(x)</math> w pukcie <math>x_0</math> wynosi 0, to <math>f(x)</math> w punkcie <math>x_0</math> ma punkt przegięcia.
==Ekstremum funkcji wielu zmiennych==
3xy+2x
=Rotacja i dywergencja=
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
| |||