Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
UWAGA! Usunięcie treści (strona pozostała pusta)!
Wutsje (dyskusja | edycje)
m Wycofano edycje użytkownika 89.228.78.205 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MonteChristof.
Linia 1:
<noinclude>
{{MDL:NawGórna|
[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu|Monotoniczność ciągu]]|
[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny|Ciąg geometryczny]]
}}
</noinclude>
 
== Ciąg arytmetyczny ==
== Definicja ==
{{index|ciąg arytmetyczny, definicja ciągu arytmetycznego}}
 
Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:
* <math> (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots) </math>
* <math> (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \dots) </math>
* <math> (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) </math>
* <math> (d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, \dots) </math>
 
Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu <math> (c_n) </math> o ''10''. W <math> (a_n) </math> już prawie widzimy, że po ''6'' będzie ''7'', a po ''7'' będzie ''8'' itd.
 
{{Mat:Def|
'''Ciąg''' (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym '''różnica dwóch kolejnych wyrazów''' jest '''stała''' nazywamy '''ciągiem arytmetycznym.'''
}}
 
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
 
Czy <math> (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) </math> będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ <math> a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 </math> i <math> a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 </math>, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
 
{{index|różnica ciągu}}
Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że <math> a_{n+1} </math> to pewien wyraz, <math> a_{n} </math> to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica <math> a_{n+1} - a_{n} </math> będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako ''r''. Napiszemy:
: {{Wzór|<math> r = a_{n+1} - a_n </math>|różnica ciągu}}
 
=== Wzór ogólny ===
{{index|wzór ogólny ciągu arytmetycznego}}
Powróćmy do ciągu <math> (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) </math>. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz <math> c_1 = 3 </math>, a różnica ciągu wynosi <math> r = 23 - 13 = 10 </math>. Ponieważ <math> r = c_2 - c_1 = 10 </math>, więc <math> c_2 = c_1 + 10 </math>, podobnie <math> c_3 - c_2 = 10 \implies c_3 = c_2 + 10 </math>, <math> c_4 - c_3 = 10 \implies c_4 = c_3 + 10 </math> itd. Więc zrobimy tak:
: <math> c_1 = 3 </math>
: <math> c_2 = c_1 + 10 = 3 + 10 </math>
: <math> c_3 = c_2 + 10 = (3 + 10) + 10 = 3 + 2 \cdot 10</math>
: <math> c_4 = c_3 + 10 = (3 + 2 \cdot 10) + 10 = 3 + 3 \cdot 10 </math>
: <math> c_5 = c_4 + 10 = (3 + 3 \cdot 10) + 10 = 3 + 4 \cdot 10 </math>
: <math> c_6 = c_5 + 10 = (3 + 4 \cdot 10) + 10 = 3 + 5 \cdot 10 </math>
: ...
 
Widzimy to? Każdy wyraz jest postać ''3 + ileś &middot; 10'', a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu ''n-1'' dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór <math>c_n = 3 + (n-1) \cdot 10 </math>.
 
Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu <math> (a_n) </math>, gdzie wiemy ile wynosi <math> a_1 </math> i znamy różnicę ciągu <math> r </math>. Czyli:
: <math> a_1 </math> jest dane
: <math> a_2 = a_1 + r </math>
: <math> a_3 = a_2 + r = (a_1 + r) + r = a_1 + 2r </math>
: <math> a_4 = a_3 + r = (a_1 + 2r) + r = a_1 + 3r </math>
: ...
 
Prawie to samo... Czyli widzimy, że:
: {{Wzór| <math> a_n = a_1 + (n-1)r </math>|wzór ogólny ciągu arytmetycznego}}
 
Wiemy, że <math>a_{n-1} = a_1 + (n - 2)r</math> oraz <math>a_{n+1} = a_1 + nr</math>. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy:
<math>a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r</math>
Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:
<math>2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n</math>
 
Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego <math> (a_n) </math> zachodzi:
: {{Wzór|<math> a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \mbox{dla} \quad n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\} </math>}}
 
Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.
 
O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:
* ciąg jest rosnący, gdy różnica <math> r > 0 </math>,
* ciąg jest stały, gdy różnica <math> r = 0 </math>,
* ciąg jest malejący, gdy różnica <math> r < 0 </math>.
 
Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla <math>r > 0</math> ciąg jest rosnący.
Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:
{{Mat:Def|
<math> ({a_{n}}) </math> jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: <math>\forall_{{b, c} \in N} b < c \Leftrightarrow a_b < a_c</math>
}}
 
Załóżmy więc, że <math> r > 0 </math> oraz:<math>b < c </math>, zbadajmy różnicę <math>a_b - a_c</math>:
<math>
a_b - a_c = a_1 + (b - 1)r - (a_1 + [c - 1]r) = a_1 + br - r - a_1 - cr + r = br - cr = r(b - c)
</math>
Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica b-c też jest dodatnia. Zatem różnica <math>a_b - a_c > 0</math>, co oznacza, że ciąg jest rosnący.
 
<noinclude>
 
{{MDL:NawDolna|
rozdział=Ciągi liczbowe|
poprz=Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu|
nast=Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny}}
 
[[Kategoria:Analiza matematyczna|Ciąg arytmetyczny]]
 
</noinclude>