Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Ireq92 (dyskusja | edycje)
Uporządkowanie
Linia 1:
== Monotoniczność ciągu ==
<noinclude>
{{MDL:NawGórna|
[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu|Pojęcie ciągu]]|
[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny|Ciąg arytmetyczny]]
}}
</noinclude>
 
== Monotoniczność ciągu ==
{{index|monotoniczność ciągu}}
{{index|ciąg rosnący}}
Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:
: <math> (a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\ </math>
Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli <math> 5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000 </math>. Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli <math> a_{n} < a_{n+1}\ </math>, a to możemy zapisać jako:
: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} > 0\ </math>|ciąg rosnący}}
{{Mat:Def|
Ciąg <math>(a_n)</math> nazywamy '''ciągiem rosnącym''', jeżeli dla każdej liczby <math> n \in \N_+ \,</math> spełniona jest nierówność <math> a_{n+1} - a_n > 0\, </math>
}}
 
 
{{index|ciąg malejący}}
Podobnie ciąg:
: <math> (b_n) = (1000, 999, 998, 997, 996, 995, 994, \dots) </math>
będzie ciągiem malejącym, ponieważ <math> 1000 > 999 > 998 > 997 > \dots </math>. W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli <math> a_n > a_{n+1}\ </math>, czyli:
: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} < 0\ </math>|ciąg malejący}}
{{Mat:Def|
Ciąg <math>(a_n)</math> nazywamy '''ciągiem malejącym''', jeżeli dla każdej liczby <math> n \in \N_+ \,</math> spełniona jest nierówność <math> a_{n+1} - a_n < 0\, </math>
}}
 
 
{{index|ciąg niemalejący}}
Zobaczmy kolejny przykład:
: <math> (c_n) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots) </math>.
ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. <math> c_2 = c_3 = 2\ </math>. Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:
: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} \geqgeqslant 0 </math>|ciąg niemalejący}}
{{Mat:Def|
Ciąg <math>(a_n)</math> nazywamy '''ciągiem niemalejącym''', jeżeli dla każdej liczby <math> n \in \N_+ \,</math> spełniona jest nierówność <math> a_{n+1} - a_n \geqslant 0\, </math>
}}
 
 
{{index|ciąg nierosnący}}
Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:
: <math> (d_n) = (16, 16, 16, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2, 2, \dots) </math>
Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:
: {{Wzór|<math> a_{n+1} - a_{n} \leqleqslant 0 </math>|ciąg nierosnący}}
{{Mat:Def|
Ciąg <math>(a_n)</math> nazywamy '''ciągiem nierosnącym''', jeżeli dla każdej liczby <math> n \in \N_+ \,</math> spełniona jest nierówność <math> a_{n+1} - a_n \leqslant 0\, </math>
'''Ciągiem monotonicznym''' nazywamy '''ciąg''', który jest '''funkcją monotoniczną'''.
}}
 
'''Ciągiem rosnącym''' nazywamy '''ciąg''', który jest '''funkcją rosnącą'''.
 
: <math> (e_n) = (-5, -5, -5, -5, \dots) </math> Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
'''Ciągiem malejącym''' nazywamy '''ciąg''', który jest '''funkcją malejącą'''.
{{Mat:Def|
 
Ciąg <math>(a_n)</math> nazywamy '''ciągiem stałym''', jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe
'''Ciągiem niemalejącym''' lub '''ciągiem słabo rosnącym''' nazywamy '''ciąg''', który jest '''funkcją niemalejącą'''.
}}
 
'''Ciągiem nierosnącym''' lub '''ciągiem słabo malejącym''' nazywamy '''ciąg''', który jest '''funkcją nierosnącą'''.}}
 
{{index|ciąg niemonotoniczny}}
Spójrzmy teraz na ten ciąg:
: <math> (c_nf_n) = (1, -10, 203, -50, 30, 40, -80, 100, \dots) </math>
Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest '''ciągiem niemonotonicznym'''.
{{Mat:Def|
'''Ciągiem niemonotonicznym''' nazywamy '''ciąg''', który nie jest ''' ciągiem monotonicznym'''.}}
<noinclude>
 
<noinclude>
{{MDL:NawDolna|
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
rozdział=Ciągi liczbowe|
poprz=[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Pojęcie ciągu|Pojęcie ciągu]]|
nast=[[Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny}}|Ciąg arytmetyczny]]|
}}</noinclude>
 
[[Kategoria:Analiza matematyczna|Monotoniczność ciągu]]
 
</noinclude>