Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 204:
== Rozwiązywanie równań wykładniczych ==
Przygładami równań wykładniczych mogą być:
: <math> 3^x=27 </math>
: <math> \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15 </math>
: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2} </math>
: <math> 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0 </math>
Schemat rowiązywania równań wygląda tak:
# Ustalamy dziedzinę.
# Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
# Rozwiązujemy równianie.
# Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
# Podajemy odpowiedź.
<big> '''Przykład''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=R </math>
# Sprowadzamy do tej samej podstawy:
#: <math> (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}=(4^2)^{x+3} </math>
#: <math> 4^{-\frac{1}{2}x+1}=4^{2x+6} </math>
# Z równości potęg wynika równość wykładników:
#: <math> -\frac{1}{2}x+1=2x+6 </math>
#: <math> -2\frac{1}{2}x=5 </math> <math> /:(-2\frac{1}{2}) </math>
#: <math> x=-2,~\in D </math>
# Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
# Możemy sprawdzić rozwiązanie:
#: <math> L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16 </math>
#: <math> P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 </math>
#: Zatem <math> L=P </math>
== Rozwiązywanie nierówności wykładniczych ==
| |||