Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Piotr (dyskusja | edycje)
Piotr (dyskusja | edycje)
Linia 312:
#:: <math> a^n<a^m <=> n>m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
# Rozwiązujemy otrzymane równanie.
# Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie <math> 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} </math>, możemy je przekształcić na równanie <math> 2x-1 > 3-x </math>, ponieważ <math> a=2 \in (1;+\infty) </math>. Natomiast <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} <=> 2x-1 < 3-x</math>, ponieważ <math> a=\frac{1}{2} \in (0;1) </math>.
 
 
<big> '''Przykład 1''' </big>
 
Chcemy rozwiązać nierówność <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>. W tym celu:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=R \backslash \{-1\} </math>
# Sprowadzamy do tych samych podstaw:
#: <math> \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
#: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
# Ponieważ <math> a=\frac{1}{2} </math>, wykorzystujemy prawo <math> a^n>a^m <=> n<m </math>:
#: <math> 2x<\frac{2x}{x+1} </math>
# Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> 2x-\frac{2x}{x+1}<0 </math>
#: <math> \frac{2x^2}{x+1}<0 </math>
# Z własności <math> \frac{a}{b}<0 <=> ab<0 </math>, wynika że:
#: <math> 2x^2(x+1)<0 => x_1=0 </math>, krotność 2 i <math> x_2=-1 </math> o krotności 1.
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png]]
# Czyli <math> x \in (-\infty;-1) </math>
 
== Logarytm ==