Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 23:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}}
|{{indexWzór|<MATH>|\delta y^'(x)|<<|y_0y^'(x)|\;</MATH>|17.9}}
|}
Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:
Linia 30:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L=\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'=
\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta(x)dx\;</MATH>|17.11}}
Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach {{linkWzór|17.11}} znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b) wariacja funkcji y znika.
Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y', zatem na podstawie tego możemy napisać:
{{indexWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}}