Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
→Logarytm: równania logarytmiczne, drobne poprawki |
|||
Linia 335:
== Logarytm ==
=== Pojęcie i własności logarytmu ===
{{Definicja|
tekst='''Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a''', gdzie <math> a \in R_+ \backslash \{1\} </math>, nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.
Linia 343:
: c jest wartością logarytmu }}
* <math> a^{\log_a b} = b</math>
* <math> \log_a 1 = 0 </math>
Linia 382:
=== Funkcje logarytmiczna ===
=== Rozwiązywanie równań logarytmicznych ===
{{Definicja|
tekst='''Równaniem logarytmicznym''' nazwyamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:
* <math> \log_4 x= -2 </math>
* <math> \log_{x+3} 27 = -2 </math>
* <math> \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1 </math>
}}
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:
# Ustalić dziedzinę
# Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
#* <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> np. <math> \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2 </math>
#* Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. <math> \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 </math>
# Podać odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 </math>. Możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> 4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20 </math>
#: Zatem mamy równanie <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20) </math>
# Z własności <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
#: <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2 </math>
#: <math> -\frac{1}{5}x=5 </math>
#: <math> x=-25,~\in D </math>
# Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.
=== Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych ===
| |||