Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Utworzył nową stronę „<noinclude>{{TopPage}}</noinclude> Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartości pewnych wyrazów nie bezpośrednio, ale pośr...”
 
Nie podano opisu zmian
Linia 12:
Z równania {{linkWzór|18.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|18.2}}.
Precedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle n ie trzeba się do niej uczekać, bo wystarczy na rozpisać kilka pierwszysch wyrazów na y<sub>m</sub> i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego pierwszego rzędu drugiego, do którego często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w następującej postaci:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|18.5}}
Rozwiązaniem tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej, którą to zapisujemy w następującej postaci:
{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\mbox{ }m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|18.6}}
Rozwiązanioe {{linkWzór|18.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|18.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;<sup>m</sup>, wten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|18.7}}
Z równania {{LinkWzór|18.7}} możemy otrzymać parametry &lambda;, który przedstawia się w postaci dwóch równań w zalezności od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|18.5}} w następującej postaci:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|18.8}}
Ogólne rozwiązanie równania {{LinkWzór|18.5}} jest równanie:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_1^n\;</MATH>|18.9}}
<noinclude>{{Fizyka matematyczna/Nawigacja|Fizyka matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki|
[[Fizyka_matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki/Transformacja_Laplace'a|Transformacja Laplace'a]]
}}</noinclude>
<noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>