Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 2:
Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartości pewnych wyrazów nie bezpośrednio, ale pośrednio przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi, całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej.
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
Równaniem różnicowym liniowym pierwszego rzędu możemy zapisać
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|18.1}}
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|18.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociarz nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną określoną wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|18.2}}
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczonej ze wzoru {{linkWzór|18.2}} podstawiamy do równanIa różnicowego {{linkWzór|18.1}} i dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, wtedy dostajemy
{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n\Rightarrow z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{, }c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|18.3}}
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikająca z końcowego związku {{LinkWzór|18.3}} jest
{{IndexWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|18.4}}
Z równania {{linkWzór|18.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|18.2}}.
Precedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle n ie trzeba się do niej uczekać, bo wystarczy na rozpisać kilka pierwszysch wyrazów na y<sub>m</sub> i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego pierwszego rzędu drugiego, do którego często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|18.5}}
Rozwiązaniem tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej, którą to zapisujemy w
{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\mbox{, }m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|18.6}}
Rozwiązanioe {{linkWzór|18.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|18.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>, wten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|18.7}}
Z równania {{LinkWzór|18.7}} możemy otrzymać parametry λ, który przedstawia się w postaci dwóch równań w zalezności od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|18.5}} w
{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|18.8}}
Ogólne rozwiązanie równania {{LinkWzór|18.5}} jest równanie:
Linia 25:
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub> to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|18.5}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|18.10}}
Aby sprawdzić, czy rzeczwiście {{LinkWzór|18.10}} mjest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|18.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|18.7}} jest równy zero, zatem wtedy po podstawieniu naszego rózwizania do równania różnicowego i po podzieleniu przez λ<sup>n</sup>, wtedy dostajemy
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|18.11}}
| |||