Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 4:
Zakładamy, że operator <MATH>\hat{O}^{-1}\;</MATH> posiada operator odwrotny do niego, później działając lewostronnie wrówność {{LinkWzór|28.1}} przez nasz operator odwrotny do <MATH>\hat{O}\;</MATH>, dostajemy równoważne do poprzedniego równanie:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\hat{O}^{-1}K(\underline{x})\;</MATH>|28.2}}
Jeśli skorzystamy z własności funkcji Diraca, czyli korzystając z własności {{LinkWzór|
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\int K(\underline{x}^')\hat{O}^{-1}\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'\;</MATH>|28.3}}
Funkcja Greena nazywamy wyrażenie, którego jest iloczynem operatorowym odwrotności operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i n-wymiarowej funkcji Diraca zapisując tą funkcję według schematu:
Linia 25:
Weźmy do dalszych obliczeń funkcje eksponencjalne zespolone, zależne od dwóch parametrów, tzn. od stałej k i położenia iksowego w przestrzeni jednowymiarowej:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(k,x)=e^{ikx}\;</MATH>|28.11}}
Korzystając z funkcji zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|28.11}} oraz z przedstawienia funkcji Diraca według tożsamości {{LinkWzór|
{{IndexWzór|<MATH>\int^{\infty}_{-\infty} \psi(k,x)\psi^{*}(k,x^')dk=
\int^{\infty}_{-\infty}e^{ik(x-x^')}dk=\left[{{e^{ik(x-x^')}}\over{i(x-x^')}}\right]^{\infty}_{-\infty}=
Linia 72:
Jeśli zaburzenie jest małe to w niekturych przypadkach możemy zapisać następująco:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.27}}
Wykorzystajmy wyrażenie {{LinkWzór|28.7}} i wykorzystując własność {{LinkWzór|28.4}} i podstawiając do tego pierwszego wyrażenie {{LinkWzór|28.24}}, wtedy występująca w całce rozważanego wyrażenia i korzystając z funkcji własnych operatora energii kinetycznej {{LinkWzór|7.
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.28}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.5}} według równania {{LinkWzór|28.4}} i operatora Diraca w przestrzeni trójwymiarowej {{LinkWzór|28.15}} oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.24}}, wtedy:
| |||