Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 4:
Równaniem różnicowym liniowym pierwszego rzędu możemy zapisać równaniem matematycznym:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|18.1}}
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|18.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony,
{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|18.2}}
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczonej ze wzoru {{linkWzór|18.2}} podstawiamy do równanIa różnicowego {{linkWzór|18.1}} i dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, wtedy dostajemy schemat:
Linia 11:
{{IndexWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|18.4}}
Z równania {{linkWzór|18.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|18.2}}.
Precedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle n ie trzeba się do niej
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego pierwszego rzędu drugiego, do którego często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
Linia 25:
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub> to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|18.5}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|18.10}}
Aby sprawdzić, czy
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|18.11}}
| |||