Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 4:
Funkcjonał występujący w rachunku wariacyjnym nie jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:
{{IndexWzór|<MATH>L[py_1+qy_2]\neq pL[y_1]+qL[y_2]\;</MATH>|17.2}}
Funkcja podcałkowa wystepującawystępująca we wzorze {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy występujący po L jest oznaczeniem, że jest oznaczeniem, że mamy doczynienia z funkcjonałem, w której to nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.
==Wariacje funkcji i funkcjonału==
Wariacja funkcjonału funbkcjifunkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako róznicyróżnicy funkcji y<sub>1</sub> i funkcji y i to oznaczamy matematycznie:
{{IndexWzór|<MATH>\delta y=y_1-y\;</MATH>|17.3}}
Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co matematycznie piszemy wzorem:
Linia 20:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L[y_0,\delta y_0]=0\;</MATH>|17.7}}
==Równanie Eulera-Lagrange'a==
Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y<sub>o</sub> i dalej weżmyweźmy funkcję y, która rózniróżni się od funkcji y<sub>0</sub> niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y<sub>o</sub>+&delta;y Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b jest równa zero, co matematycznie &delta;y(a)=&delta;y(b)=0 na końcach w której liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje &delta;y' i &delta;y są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y<sup>'</sup>(x)| i |y<sub>0</sub>x|, co matematycznie piszemy dla x&isin;(a,b) równaniami:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}}