Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

{{IndexWzór|<MATH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.181}}

Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.181}} przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych <MATH>-{{2m}\over{\hbar^2}}\;</MATH>, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach matematycznych, wtedy można napisać:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.192}}

Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.192}} na funkcję <MATH>V(\vec{r})\;</MATH> i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób by nasze końcowe równanie niezależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

|{{IndexWzór|<MATH>E={{\hbar^2k_0^2}\over{2m}}\geq 0\;</MATH>|28.203}}

|{{IndexWzór|<MATH>V(\vec{r})={{\hbar}\over{2m}}U(\vec{r})\;</MATH>|28.214}}

Na podstawie {{LinkWzór|28.203}} (definicja stałej E) i {{LinkWzór|28.214}} (definicja <MATH>V(\vec{r})\;</MATH>), wtedy wzór {{LinkWzór|28.192}} przybiera inną równoważną postać:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-U(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=-k_0^2\psi\;</MATH>|28.225}}

Widzimy, że wyrażenie {{LinkWzór|28.225}} spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń.

W równaniu {{LinkWzór|28.225}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, wtedy to równania zapisujemy w postaci:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.236}}

Porównując równanie {{LinkWzór|28.236}} z {{LinkWzór|28.1}}, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości, że:

|{{IndexWzór|<MATH>K(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.247}}

|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\nabla^2+k_0^2\;</MATH>|28.258}}

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=\psi_0(\vec{r})+\psi_1(\vec{r})\;</MATH>|28.269}}

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.2710}}

Wykorzystajmy wyrażenie {{LinkWzór|28.7}} i wykorzystując własność {{LinkWzór|28.4}} i podstawiając do tego pierwszego wyrażenie {{LinkWzór|28.247}}, wtedy występująca w całce rozważanego wyrażenia i korzystając z funkcji własnych operatora energii kinetycznej {{LinkWzór|7.118|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}}, bo zachodzi {{LinkWzór|28.2710}} w przybliżeniu, wtedy to wyrażenie można zapisać w postaci:

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.2811}}

Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.5}} według równania {{LinkWzór|28.4}} i operatora Diraca w przestrzeni trójwymiarowej {{LinkWzór|28.15}} oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.247}}, wtedy:

={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{\left(\nabla^2+k_0^2\right)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{(-k^2+k_0^2)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}\over{k_0^2-k^2}}\;</MATH>|28.2912}}

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena {{LinkWzór|28.2912}} w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów <MATH>\vec{r}-\vec{r}^'\;</MATH> leży na osi OY rzędnych:

{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><math>={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\;</MATH>|28.3013}}

Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie <MATH>(0,0)\;</MATH>, wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla <math>R\rightarrow \infty\;</MATH> ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.3013}}, ale najpierw napiszmy zamiast k weźmy liczbę zespoloną <MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>, zatem jesli <MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>, to <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy możemy przecałkować po półokręgu i dla <MATH>\epsilon\;</MATH> skończonego ale nierównego zero zobaczymy co wyjdzie:

{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\int_{O}\left|{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.3114}}

Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale <MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>,gdzie funkcja <MaTh> y=\sin x\;</MATH> jest zawsze większa niż prosta <MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>, zatem zachodzi:<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.3114}} należy ograniczyć do omawianego przedziału a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:

{{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left[e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}\right]_0^{{{\pi}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left(e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}-1\right)={{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATH>|28.3215}}

Całka {{LinkWzór|28.3114}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|28.3215}} jest równa:

\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|{{\pi}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATh>|28.3316}}

\lim_{|k|\rightarrow\infty}{{|k|}\over{|k|^2\left|{{k_0^2}\over{|k|^2}}-{{k^2}\over{|k|^2}}+{{i\epsilon}\over{|k|^2}}\right|}}=\lim_{|k|\rightarrow\infty}{{1}\over{|k|}}{{1}\over{\left|{{k_0^2}\over{|k|^2}}-{{k^2}\over{|k|^2}}+{{i\epsilon}\over{|k|^2}}\right|}}=0\cdot 1=0\;</MATH>|28.3417}}

bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu {{LinkWzór|28.3417}}:

Całka na półokręgu {{LinkWzór|28.3316}} dąży do zera na podstawie {{LinkWzór|28.3417}}, bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu <MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku <MaTH>(-R,R)\;</MATH>, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH> wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu <MATH>\rho\;</MATH> dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego.

W całce {{LinkWzór|28.3013}} dokonajmy podstawienia <MATH>k_0^2-k^2+i\epsilon=\rho e^{i\theta}\;</MAtH>, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy <MATH>-2kdk=\rho e^{i\theta}i d\theta\Rightarrow kdk=-{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta\;</MATH>, wykorzystując te podstawienia do całki {{LinkWzór|28.3013}} oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach <Math>k=\pm \sqrt{k_0^2+i\epsilon}=\pm\sqrt{k_0^2\left(1+{{i\epsilon}\over{k_0^2}}\right)}\simeq \pm k_0\pm{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\;</MATH>.

-{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}i{{1}\over{2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}d\theta e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{\pm i(k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}})|\vec{r}-\vec{r}^'|}\int_0^{2\pi}d\theta=\;</MATH><BR><MATH>=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}2\pi=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.3518}}

Otrzymalismy według obliczeń {{LinkWzór|28.3518}}, że funkcja Greena ma dwie postacie zapisując je w postaci ogólnej:

{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.3619|Obramuj}}

Funkcję Greena {{LinkWzór|28.3619}} można wstawić do równania {{LinkWzór|28.2811}}, w ten sposób można obliczyć funkcję własne równania własnego operatora energii według kwantowej mechaniki klasycznej Schrödingera.

{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.3720}}

Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.3720}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:

{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi+J\;</MATH>|28.3821}}

{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.3922}}

Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.3922}}, wtedy nasze równanie różniczkowe ruchu bardzo podobne do równania Klieina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo tu zachodzi<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, przechodzi w równanie:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.4023}}

Równanie {{LinkWzór|28.4023}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> są przedstawiane według następującego wzoru:

|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|28.4124}}

|{{IndexWzór|<MATH>K(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.4225}}

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)G(\underline{x},\underline{x}^')=\delta^4(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|28.4326}}

-{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.4427}}

Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena {{LinkWzór|28.4427}} oraz funkcje dla równania różniczkowego jednorodnego {{LinkWzór|28.8}}, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|28.4023}} jest w postaci {{LinkWzór|28.7}}.