Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
<noinclude>{{TopPage}}</noinclude>
==Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera==
Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora <MATH>\nabla\;</MATH> i operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna, zatem to równanie własne zapisuje w następującej postaci
{{IndexWzór|<MATH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.
Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.
Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>E={{\hbar^2k_0^2}\over{2m}}\geq 0\;</MATH>|28.
|{{IndexWzór|<MATH>V(\vec{r})={{\hbar}\over{2m}}U(\vec{r})\;</MATH>|28.
|}
Na podstawie {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-U(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=-k_0^2\psi\;</MATH>|28.
Widzimy, że wyrażenie {{LinkWzór|28.
W równaniu {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.
Porównując równanie {{LinkWzór|28.
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>K(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\nabla^2+k_0^2\;</MATH>|28.
|}
Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy je na w sposób:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=\psi_0(\vec{r})+\psi_1(\vec{r})\;</MATH>|28.
Jeśli zaburzenie jest małe to w niekturych przypadkach możemy zapisać następująco:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.
Wykorzystajmy wyrażenie {{LinkWzór|28.7}} i wykorzystując własność {{LinkWzór|28.4}} i podstawiając do tego pierwszego wyrażenie {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.5}} według równania {{LinkWzór|28.4}} i operatora Diraca w przestrzeni trójwymiarowej {{LinkWzór|28.15}} oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=\hat{O}^{-1}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}\hat{O}^{-1}e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}=
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MaTH>
={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{\left(\nabla^2+k_0^2\right)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{1}\over{(-k^2+k_0^2)e^{-i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}\over{k_0^2-k^2}}\;</MATH>|28.
Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}{{e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}}\over{k_0^2-k^2}}={{1}\over{(2\pi)^3}}\int_0^{\infty}{{k^2}\over{k_0^2-k^2}}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\psi\sin\psi e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\psi}=\;</Math><BR><MATH>={{1}\over{4\pi^2}}\int_0^{\infty}{{k^2}\over{k_0^2-k^2}}\int^{-1}_{1}-du e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|u}=
{{1}\over{4\pi^2}}\int_0^{\infty}{{k^2dk}\over{k_0^2-k^2}}\left[{{e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|u}}\over{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\right]^1_{-1}=\;</MATH><BR><MATH>=
Linia 85 ⟶ 37:
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{-ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><math>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{-\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><math>={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\;</MATH>|28.
Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie <MATH>(0,0)\;</MATH>, wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla <math>R\rightarrow \infty\;</MATH> ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\int_{O}\left|{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.
Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale <MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>,gdzie funkcja <MaTh> y=\sin x\;</MATH> jest zawsze większa niż prosta <MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>, zatem zachodzi:<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<maTh>\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\leq
2\int_0^{{{\pi}\over{2}}}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}d\theta=
{{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left[e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}\theta}\right]_0^{{{\pi}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{2}\over{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|{{2}\over{\pi}}}}\left(e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}-1\right)={{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATH>|28.
Całka {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|\leq
\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R{{\pi}\over{R|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)=\;</MATH><BR><MATH>=
\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|{{\pi}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left(1-e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right)\;</MATh>|28.
Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem <MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>, bo <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>, zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{|k|\rightarrow\infty}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|=
\lim_{|k|\rightarrow\infty}{{|k|}\over{|k|^2\left|{{k_0^2}\over{|k|^2}}-{{k^2}\over{|k|^2}}+{{i\epsilon}\over{|k|^2}}\right|}}=\lim_{|k|\rightarrow\infty}{{1}\over{|k|}}{{1}\over{\left|{{k_0^2}\over{|k|^2}}-{{k^2}\over{|k|^2}}+{{i\epsilon}\over{|k|^2}}\right|}}=0\cdot 1=0\;</MATH>|28.
bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left|{{k_0^2}\over{|k|^2}}-{{k^2}\over{|k|^2}}+{{i\epsilon}\over{|k|^2}}\right|\leq {{|k_0|^2}\over{|k|^2}}+1+{{|\epsilon|}\over{|k|^2}}\xrightarrow[|k|\rightarrow\infty ]{}1\;</MATH>}}
Całka na półokręgu {{LinkWzór|28.
W całce {{LinkWzór|28.
Gdy <MATH>\epsilon>0\;</MATH>, to do półokręgu należy oczywiście punkt <MATH>k=k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow k_0\;</Math>, a drugi nie należy, ale gdy natomiast <MaTh>\epsilon<0\;</MATH>, to do półokręgu należy drugi punkt <MATH>k=-k_0-{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow -k_0\;</MATH>, a pierwszy nie należy.
Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku <MATH>\epsilon\rightarrow 0\;</MATH>, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich dla punktów osobliwych.
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}(-1){{{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta}\over{\rho e^{i\theta}}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><MaTH>=
-{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}i{{1}\over{2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}d\theta e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{\pm i(k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}})|\vec{r}-\vec{r}^'|}\int_0^{2\pi}d\theta=\;</MATH><BR><MATH>=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}2\pi=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.
Otrzymalismy według obliczeń {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.
Funkcję Greena {{LinkWzór|28.
==Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Klieina-Gordona==
Gęstość Lagrangianu {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} uzupełnijmy od dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy ta nasza gęstość Lagrangianu zapisując je w postaci pełnej:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.
Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi+J\;</MATH>|28.
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając następujące równanie ruchu:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.
{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.
Równanie {{LinkWzór|28.
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|28.
|{{IndexWzór|<MATH>K(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.
|}
Zatem równanie na funkcję Greena według równości {{LinkWzór|28.5}}, która jest jakoby definicją na funkcję Greena jest w tym naszym przypadku w następującej postaci:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)G(\underline{x},\underline{x}^')=\delta^4(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|28.
Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|26.4}}, oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:
{{IndexWzór|<MATh>G(\underline{x},\underline{x}^')={{1}\over{(2\pi)^4}}\int \hat{O}^{-1}e^{ik(\underline{x}-\underline{x}^')}=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{-k^2-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}=
-{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>.
Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena {{LinkWzór|28.
<noinclude>{{Fizyka_matematyczna/Nawigacja|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa|[[Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Symetria cechowania transformacji ładunkowej|Symetria cechowania transformacji ładunkowej]]|[[Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu a jego przekroje|Asymptotyczne właściwości wektora własnego...]]
}}</noinclude>
|