Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|1819.1}}

Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|1819.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną określoną wzorem:

{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|1819.2}}

Wzór na zmienną y_m wyznaczonej ze wzoru {{linkWzór|1819.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{linkWzór|1819.1}} i dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a₁a₂...a_n, wtedy dostajemy schemat:

{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n\Rightarrow z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{, }c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|1819.3}}

Ogólnym rozwiązaniem z_n równania różnicowego wynikająca z końcowego związku {{LinkWzór|1819.3}} jest równanie:

{{IndexWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|1819.4}}

Z równania {{linkWzór|1819.4}} możemy wyznaczyć y_m wynikające z równania {{LinkWzór|1819.2}}.

{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|1819.5}}

{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\mbox{, }m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|1819.6}}

Rozwiązanioe {{linkWzór|1819.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|1819.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;^m, wten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:

{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|1819.7}}

Z równania {{LinkWzór|1819.7}} możemy otrzymać parametry &lambda;, który przedstawia się w postaci dwóch równań w zalezności od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|1819.5}} w postaci:

{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|1819.8}}

Ogólne rozwiązanie równania {{LinkWzór|1819.5}} jest równanie:

{{IndexWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|1819.9}}

Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli &lambda;=&lambda;₁=&lambda;₂ to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|1819.5}} jest:

{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|1819.10}}

Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|1819.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1819.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|1819.7}} jest równy zero, zatem wtedy po podstawieniu naszego rozwiązania do równania różnicowego i po podzieleniu przez &lambda;ⁿ, wtedy dostajemy równanie:

<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|1819.11}}

Równanie {{LinkWzór|1819.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|1819.7}} i wartości parametru <MATH>_{\lambda={{1}\over{2}}a}\;</MATH>, gdy rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1819.7}} są dwa jednakowe pierwiastki.