Wikibooks

Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
→‎Twierdzenie o przekątnych równoległoboku: uzgodnienie oznaczeń przekątnych z rysunkiem
Linia 16:
*Dowód:
#W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie: <math>2\alpha + 2\beta = 360 \iff \beta = 180 - \alpha</math>
#Wyliczamy przekątną <math>d_{1}=|ACBD|</math> z twierdzenia cosinusów (dla kąta <math>\alpha</math>)<ul><math>d_{1}^{\;2}=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha</math></ul>
#Wyliczamy przekątną <math>d_{2}=|BDAC|</math> z twierdzenia cosinusów (dla kąta <math>\beta</math>)<ul><math>d_{2}^{\;2}=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(180-\alpha)</math></ul><ul><math>cos(180-\alpha)=-cos\alpha \;\; \Rightarrow \;\; d_{2}^{2}=a^2+b^2+2ab\cdot \cos\alpha</math></ul>
#Dodajemy do siebie dwie przekątne<ul><math>d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha + a^2+b^2+2ab\cdot \cos\alpha</math></ul>
#Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci<ul><math>d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;2a^2+2b^2</math></ul>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Planimetria/Czworokąty_-_zaawansowane”