|
* podzielenie na mniejsze strony, aby wygodniej się czytało.}}
={{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna =:1}}
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:2}}
== Przypomnienie działań na potęgach ==
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:3}}
Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:4}}
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:5}}
* <math> a^1=a </math>
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:6}}
* <math> a^n=aa^{n-1} </math>
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:7}}
* <math> a^n=aaaaa...a </math> -- mnożymy n razy
{{:Matematyka dla liceum:Funkcja wykładnicza i logarytmiczna:8}}
* <math> a^0=1 </math>
* <math> a^{-n}=\frac{1}{a^n} </math>
* <math> \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}</math>
* <math> a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} </math>
* <math> a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m </math>
* <math> {a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q} </math>
* <math> {a^p}:{a^q} = a^{p-q} </math>
* <math> (a^p)^q = a^{pq} </math>
* <math> {(a \sdot b)}^p= {a^q} \sdot {b^q} </math>
* <math> \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} </math>
== Funkcja potęgowa ==
{{Definicja|
tekst='''Funkcja potęgowa''' jest to funkcja określona wzorem <math> f(x)=x^p </math>}}
Dziedzina funkcji potęgowej:
# Jeśli <math>p \in N_+</math>, to <math>D_f=R</math>
# Jeśli <math>p \in C</math>, to <math>D_f = R \backslash \{0\}</math>
# Jeśli <math>p \in W</math>:
#* dla <math> p>0 </math>, to <math> D_f=R_+\cup\{0\} </math>
#* dla <math> p<0 </math>, to <math> D_f=R_+ </math>
=== Wykres ===
==== O wykładniku równym zero ====
[[Grafika:Funpot-wykr0.png]]
W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest stała. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że <math> D=R \backslash \{0\} </math>. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia <math> 0^0 </math> jest nieokreślona.
==== O wykładniku dodatnim parzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr1.png]]
Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = R </math>
# <math> ZW_f = R_+ \cup \{0\} </math>
# Miejsce zerowe funkcji: <math> x_0=0 </math>
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in R \backslash \{0\} </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>, funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
# Ekstrema:
#: Minimum: dla <math> x=0 </math> <math> f(x)=0 </math>
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in (0,+\infty) </math>
#: Maleje dla <math> x \in (-\infty,0) </math>
# Funkcja nie jest różnowartościowa
# Funkcja jest parzysta
# Funkcja nie jest nieparzysta
}}
==== O wykładniku dodatnim nieparzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr2.png]]
Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = R </math>
# <math> ZW_f = R </math>
# Miejsce zerowe funkcji: <math> x_0=0 </math>
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in R_+ \backslash \{0\} </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in R_- \backslash \{0\} </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in R </math>
# Funkcja jest różnowartościowa
# Funkcja nie jest parzysta
# Funkcja jest nieparzysta
}}
==== O wykładniku ujemnym parzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr3.png]]
Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:
<center><math> y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1) </math></center>
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = R \backslash \{0\} </math>
# <math> ZW_f = R_+ </math>
# Miejsce zerowe funkcji: brak
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in D_f </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie dla <math> x \in (-\infty;0) </math>
#: Maleje dla <math> x \in (0;+\infty) </math>
# Funkcja nie jest różnowartościowa
# Funkcja jest parzysta
# Funkcja jest nieparzysta
# Asymptoty: <math> x=0 </math> i <math> y=0 </math>
}}
==== O wykładniku ujemnym nieparzystym ====
[[Grafika:Funpot-wykr4.png]]
Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:
<center><math> y>1 \iff x \in (0;1) </math></center>
{{Infobox|
tekst=Własności:
# <math> D_f = R \backslash \{0\} </math>
# <math> ZW_f = R \backslash \{0\} </math>
# Miejsce zerowe funkcji: brak
# Wartości dodatnie: <math> f(x)>0 \iff x \in D_f </math>
# Wartości ujemne: <math> f(x)<0 \iff x \in \varnothing </math>
# Ekstrema:
#: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
#: Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
# Monotniczność:
#: Rośnie przedziałami <math> x \in (-\infty;0) </math> i <math> x \in (0;+\infty) </math>
# Funkcja jest różnowartościowa
# Funkcja jest nieparzysta
# Funkcja nie jest nieparzysta
# Asymptoty: <math> x=0 </math> i <math> y=0 </math>
}}
== Rozwiązywanie równań potęgowych ==
Przykładami równań potęgowych może być:
: <math>x^{\frac{2}{3}}=9</math>,
: <math>7x^{4}=2\sqrt{7}</math>,
: <math>x+x^{\frac{1}{2}}=12</math>.
W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie <math> x^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{3} </math> i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> x^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{3}, D=R_+ \cup \{0\} </math>
# Przekształcamy pierwiastek na potęgę:
#: <math> x^{\frac{3}{2}}=2 \sdot 3^\frac{1}{2} </math>
# Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi <math> \frac{2}{3} </math>:
#: <math> \left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3} </math>
# Czyli:
#: <math> x=3^\frac{1}{3} </math>
Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie <math> x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28 </math>:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=R_+ \cup \{0\} </math>
# Podstawmy: <math> x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0 </math>
#: <math> t^2+3t-28=0 </math>
# Czyli:
#: <math> t_1=-7,~\notin D </math>
#: <math> t_2=4,~\in D </math>
# Otrzymujemy:
#: <math> x^\frac{1}{5}=t_2=4 </math>
#: <math> x=4^5=1024 </math>
Zobaczmy na jeszcze inny przykład: <math> \sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3 </math>.
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> 4x+5 \geq 0 \and 2x-5 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{5}{2} \iff x \geq \frac{5}{2} </math>
#: Czyli: <math> D=\left[\frac{5}{2};+\infty\right) </math>
# Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:
#: <math> (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2=9 </math>
#: <math> 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6=9 </math>
#: <math> -2\sqrt{8x^2-14x-30}=10-6x </math> <math> /:(-2) </math>
#: <math> \sqrt{8x^2-14x-30}=3x-5 </math>
# Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:
#: <math> x \in \left[\frac{5}{2};+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0 </math>
#: <math> \iff x \in \left[\frac{5}{2};+\infty\right)
\and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3} </math>
#: <math> \iff x \in \left[\frac{5}{2};+\infty\right) </math>
# I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:
#: <math> 8x^2-14x-30=(3x-5)^2 </math>
#: <math> 8x^2-14x-30=9x^2-30x+25 </math>
#: <math> -x^2+16x-55=0 </math>
# Czyli:
#: <math> x_1=5,~\in \left[\frac{5}{2};+\infty\right)</math>
#: <math> x_1=11,~\in \left[\frac{5}{2};+\infty\right)</math>
# Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.
== Rozwiązywanie nierówności potęgowych ==
Przykładem nierówności potęgowej może być:
: <math> x^2>x^{-3} </math>
: <math> x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0 </math>
: <math> 3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4} </math>
Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:
# Ustalamy dziedzinę.
# Przenosimy całe równanie na lewą stronę.
# Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
## <math> \frac{a}{b}>0 \iff ab>0 </math>
## <math> \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 </math>
# Udzielamy odpowiedzi.
Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez <math> x^k </math>, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ <math> x^k </math> zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak równania nie może ulec zmianie.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać nierówność <math> x^{-4}>x^{-3} </math>. Robimy to w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przykształcenia, które nam to ułatwią:
#: <math> x^{-4}>x^{-3},~D=R \backslash \{0\} </math>
#: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math>
# Przenosimy wszystko na lewą stronę:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0 </math>
# Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> \frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0 </math>
#: <math> \frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0 </math>
#: <math> -x^4(x-1)>0 </math>
# Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
#: <math> x_1=0 </math> o krotności 4
#: <math> x_2=1 </math> o krotności 1
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png]]
# Rozwiązaniem nierówności jest <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>
Równanie to mogliśmy przekształcić wymnażając obie strony przez <math> x^4 </math>. Otrzymalibyśmy:
: <math> \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} </math> <math> / \sdot x^4 </math>
: <math> 1>x </math>
Uwzględniając dziedzinę mamy <math> x \in (-\infty;0) \cup (0;1) </math>. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.
== Funkcja wykładnicza ==
{{Definicja|
tekst='''Funkcja wykładnicza''' jest to funkcja określona wzorem <math> f(x)=a^x </math>''' dla <math> a>0 </math> i <math> a \neq 0 </math>.}}
=== Wykres ===
[[Grafika:Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr.png]]
[[Grafika:Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr2.png]]
Patrząc na funkcję <math> y=2^x </math> i <math> y=\left(\frac{1}{2}\right)^x </math> (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami <math> y=3^x </math> i <math> y=\left(\frac{1}{3}\right)^x </math> (kolor granatowy), a także <math> y=\left(\frac{3}{2}\right)^x </math> i <math> y=\left(\frac{2}{3}\right)^x </math> (kolor zielony). Możemy
przypuszczać, że wykresy <math> f(x)=a^x </math>, a także <math>g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x</math> są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: <math> f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=g(-x) </math>.
{{Infobox|
tekst=Wykres funkcji <math> y=a^x </math> jest symetryczny do wykresu funkcji <math> y=\left(\frac{1}{a}\right)^x </math>względem osi OY.
}}
== Rozwiązywanie równań wykładniczych ==
Przygładami równań wykładniczych mogą być:
: <math> 3^x=27 </math>
: <math> \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15 </math>
: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2} </math>
: <math> 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0 </math>
Schemat rowiązywania równań wygląda tak:
# Ustalamy dziedzinę.
# Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
# Rozwiązujemy równianie.
# Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
# Podajemy odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=R </math>
# Sprowadzamy do tej samej podstawy:
#: <math> (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}=(4^2)^{x+3} </math>
#: <math> 4^{-\frac{1}{2}x+1}=4^{2x+6} </math>
# Z równości potęg wynika równość wykładników:
#: <math> -\frac{1}{2}x+1=2x+6 </math>
#: <math> -2\frac{1}{2}x=5 </math> <math> /:(-2\frac{1}{2}) </math>
#: <math> x=-2,~\in D </math>
# Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
# Możemy sprawdzić rozwiązanie:
#: <math> L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16 </math>
#: <math> P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 </math>
#: Zatem <math> L=P </math>
<big> '''Przykład 2''' </big>
Jeśli chcemy rozwiązać równanie <math> 2^x+2^{7-x}=24 </math>, możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
#: <math> 2^x+2^{7-x}=24 </math>,~D=R </math>
#: <math> 2^x+\frac{2^7}{2^x}=24 </math>
# Podstawiamy <math> 2^x=t, t \in R_+ </math>
#: <math> t+\frac{128}{t}=24 </math> <math> / \sdot t </math>
#: <math> t^2-24t+128=0 </math>
# Otrzymujemy:
#: <math>t_1=8=2^3,~\in R_+</math>
#: <math>t_2=16=2^4,~\in R_+</math>
# Ponieważ <math> 2^x=t </math>:
#: <math>2^x=t_1</math> lub <math>2^x=t_2</math>
#: <math>2^x=2^3</math> lub <math>2^x=2^4</math>
#: <math>x=3</math> lub <math>x=4</math>
# Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.
== Rozwiązywanie nierówności wykładniczych ==
Przykładami nierówności wykładniczych są:
: <math> 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}} </math>
: <math> 3^{x^2-2}<3\sqrt{3} </math>
: <math> \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x} </math>
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
# Ustalić dziedzinę
# Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego rówania, które potrafimy rozwiązać.
# Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
#: dla <math> a \in (1;+\infty) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n>m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n<m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
#: dla <math> a \in (0;1) </math>
#:: <math> a^n>a^m \iff n<m </math>
#:: <math> a^n<a^m \iff n>m </math>
#:: analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
# Rozwiązujemy otrzymane równanie.
# Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie <math> 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} </math>, możemy je przekształcić na równanie <math> 2x-1 > 3-x </math>, ponieważ <math> a=2 \in (1;+\infty) </math>. Natomiast <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x</math>, ponieważ <math> a=\frac{1}{2} \in (0;1) </math>.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać nierówność <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>. W tym celu:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=R \backslash \{-1\} </math>
# Sprowadzamy do tych samych podstaw:
#: <math> \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
#: <math> \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} </math>
# Ponieważ <math> a=\frac{1}{2} </math>, wykorzystujemy prawo <math> a^n>a^m \iff n<m </math>:
#: <math> 2x<\frac{2x}{x+1} </math>
# Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
#: <math> 2x-\frac{2x}{x+1}<0 </math>
#: <math> \frac{2x^2}{x+1}<0 </math>
# Z własności <math> \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 </math>, wynika że:
#: <math> 2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 </math>, krotność 2 i <math> x_2=-1 </math> o krotności 1.
#: [[Grafika:Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png]]
# Czyli <math> x \in (-\infty;-1) </math>
== Logarytm ==
=== Pojęcie i własności logarytmu ===
{{Definicja|
tekst='''Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a''', gdzie <math> a \in R_+ \backslash \{1\} </math>, nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.
: <math> \log_a b=c \iff a^c=b </math>, dla <math>a>0</math> i <math>a \neq 1</math> i <math>b > 0</math>
: a jest podstawą logarytmu
: b jest liczbą logarytmowaną
: c jest wartością logarytmu }}
Własności logarytmu:
* <math> a^{\log_a b} = b</math>
* <math> \log_a 1 = 0 </math>
* <math> \log_a a = 1 </math>
* <math> \log_a (mn) = \log_a m + \log_n a </math>
* <math> \log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n</math>
* <math> \log_a{n^b} = b \log_a{n}</math>
* <math> \log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a } </math>
* <math>a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c </math>
* <math>a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c </math>
<big> '''Przykłady''' </big>
:<math>\log_{10} 100 = 2</math>
:<math>\log_{10} 10000 = 4 </math>
:<math> 100 < 1000 \quad 2 < 4 </math>
:<math> \log_{0.1}{0.01} = 2 </math>
:<math> \log_{0.1}{0.0001} = 4 </math>
:<math> 0.01 > 0.001 \quad 2 < 4</math>
:<math> \log_{10} 0.1 = -1 </math>
:<math> \log_{10} 0.01 = -2 </math>
:<math> 0.1 > 0.01 \quad -1 > -2 </math>
==== Logarytm naturalny i dziesiętny ====
W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie <math>e</math> oraz 10, stąd zapis:
* <math> \log_{10} a = \log a </math> - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
* <math> \log_e a = \ln a</math> - logarytm naturalny (którego podstawa <math>e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828... </math>)
{{Uwaga|tekst=Uwaga! Oznaczenia <math>\log</math> oraz <math>\ln</math> mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!}}
==== Przybliżenia ====
W obliczeniach chemicznych często przybliża się:
* <math> \log_{10} 2 \approx 0.3 </math>
=== Funkcje logarytmiczna ===
=== Rozwiązywanie równań logarytmicznych ===
{{Definicja|
tekst='''Równaniem logarytmicznym''' nazwyamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:
* <math> \log_4 x= -2 </math>
* <math> \log_{x+3} 27 = -2 </math>
* <math> \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1 </math>
}}
Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:
# Ustalić dziedzinę
# Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
#* <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> np. <math> \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2 </math>
#* Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. <math> \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 </math>
# Podać odpowiedź.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Chcemy rozwiązać równanie <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 </math>. Możemy to zrobić w ten sposób:
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> 4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20 </math>
#: Zatem mamy równanie <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20) </math>
# Z własności <math> \log_n b=x \iff b=n^x </math> i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
#: <math> \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2 </math>
#: <math> -\frac{1}{5}x=5 </math>
#: <math> x=-25,~\in D </math>
# Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.
=== Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych ===
| 