Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 39:
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\left[\int_0^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}-\int_0^{-\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><math>={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\;</MATH>|28.13}}
Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie <MATH>(0,0)\;</MATH>, wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla <math>R\rightarrow \infty\;</MATH> ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.13}}, ale najpierw napiszmy zamiast k weźmy liczbę zespoloną <MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>, zatem jesli <MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>, to <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy możemy przecałkować po półokręgu i dla <MATH>\epsilon\;</MATH> skończonego, ale nierównego zero, i zobaczymy co wyjdzie dalej:
{{IndexWzór|<MATH>\left|\int_{O}{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}\right|=\left|\int_O{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}e^{iR|\vec{r}-\vec{r}^'|\cos\theta }e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}\right|\leq\;</MATH><BR><math>\leq\int_{O}\left|{{kdk}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}|dk|\leq\max_{k\in O}\left|{{k}\over{k_0^2-k^2+i\epsilon}}\right|R\int_0^{\pi}e^{-R|\vec{r}-\vec{r}^'|\sin\theta}d\theta\;</MAth>|28.14}}
Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale <MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>,gdzie funkcja <MaTh> y=\sin x\;</MATH> jest zawsze większa niż prosta <MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>, zatem zachodzi:<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.14}} należy ograniczyć do omawianego przedziału a wynik pomnożyć przez dwa, zatem: