Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
Punktem wyjścia każdej rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale zależącego od argumentu x, zatem zapisujemy w postaci:
{{IndexWzór|<math>L[y]=\int_{a}^{b}F(x,y(x),y^'(x))dx\;</MATH>|17.1}}
Funkcjonał występujący w rachunku wariacyjnym nie jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:
{{IndexWzór|<MATH>L[py_1+qy_2]\neq pL[y_1]+qL[y_2]\;</MATH>|17.2}}
Funkcja podcałkowa występująca we wzorze {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy występujący po L jest oznaczeniem, że jest oznaczeniem, że mamy doczynienia z funkcjonałem, w której to nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.
==Wariacje funkcji i funkcjonału==
Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako różnicy funkcji y<sub>1</sub> i funkcji y i to oznaczamy matematycznie:
Linia 10:
Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co matematycznie piszemy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>||\delta y||=\operatorname{max}|y_1(x)-y(x)|<<1\;</MATH>|17.4}}
Wariację funkcjonału L, czyli &delta;y definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle następującego sposobu:
{{IndexWzór|<MATH>L[y+\delta y]-L[y]=\delta L[y,\delta y]+0(\delta y)\;</MATH>|17.5}}
Ostatni człon oznacza resztę, która jest mała wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y
Linia 34:
Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y', zatem na podstawie tego możemy napisać:
{{indexWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}}
Funkcja podcałkowa występująca w punkcie {{LinkWzór|17.12}} jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego &delta;, zatem w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}=0\;</MATH>|17.13}}
==Ekstremum funkcjonału po ustaleniu na wiezów na stawiany układ==
Funkcja występująca we funkcjonale L[y] {{linkWzór|17.1}}, w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasza badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F<sup>*</sup> tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja:
{{IndexWzór|<MATH>F^*=F+\sum_j\lambda_j\phi_j\;</MATH>|17.14}}
Mając już nową funkcję {{linkWzór|17.14}} i aby wyznaczyć funkcję szukaną y należy podstawić tą wspomnianą funkcję do {{linkWzór|17.1}} i wtem sposób możemy określić funkcjonał L<sup>*</sup>, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór {{linkWzór|17.12}} by znaleźć naszą szukaną y(x).
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_wariacyjny”