Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przez wyznaczeniem należty wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.

==Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera==

{{IndexWzór|<MATH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.1}}

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.2}}

Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.2}} na funkcję <MATH>V(\vec{r})\;</MATH> i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób by nasze końcowe równanie niezależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy je na w sposób:

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=\psi_0(\vec{r})+\psi_1(\vec{r})\;</MATH>|28.9}}

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.10}}

Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Fizyka_matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Fizyka_matematyczna/Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i wiedząc, że zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana wzorem:

Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.20}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:

{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi+J\;</MATH>|28.21}}

{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}

Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}}, wtedy nasze równanie różniczkowe ruchu bardzo podobne do równania Klieina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo tu zachodzi<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, przechodzi w równanie:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}

{|width=100%|-

|{{IndexWzór|<MATH>\hat{O}=\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|28.24}}

|{{IndexWzór|<MATH>K(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.25}}

|}

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)G(\underline{x},\underline{x}^')=\delta^4(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|28.26}}

Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|26.4}}, oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej: