Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Linia 2:
W tym rozdziale zapoznamy się z podstawowymi własnościami dla operatorów symbolizujących kwanty pola elektromagnetycznego, wyprowadzimy macierze spinowe, podamy równanie własne współrzędnej zetowej i kwadratu całkowitego momentu pędu kwantów pola elektromagnetycznego.
==Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty==
Wiemy, że obroty są odpowiedzialne za zasadę zachowania momentu pędu. Jego macierz transformacji, jeśli znamy oś obrotu i jej kierunek, czyli znamy wektor <MATH>\vec{n}\;</MATH>, który właśnie za nie jest odpowiedzialny, przy czym zakładamy, że zwrot tego wektora jest do góry względem pewnej płaszczyzny, w której następuje obrót, jeśli obrót jest przeciwny z kierunkiem ruchu zegara, przedstawia się następująco:
{{IndexWzór|<MATH>R(\vec{n},\theta)=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{l}}\over{\hbar}}}</MATH>|30.1}}
Wektor wodzący tuż o obrocie względem operatora obrotu {{LinkWzór|30.1}} względem starego wektora tego rodzaju zapisujemy następująco:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{r}^'=R(\vec{n},\theta)\vec{r}</MATH>|30.2}}
Można też napisać transformację odwrotną do {{LinkWzór|30.2}} transformująca nowy wektor tuż po obrocie na stary wektor wodzący przed obrotem względem wektora <MATH>\vec{n}\;</MATH>;
Linia 16:
Całkowity operator obrotu jest operatorem iloczynu dwóch operatorów {{LinkWzór|30.1}} oraz {{LinkWzór|30.5}}, który zapisujemy jako:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=\hat{D}^{(1)}\hat{T} =e^{-i\theta{{(\vec{n}\hat{S})}\over{\hbar}}}e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{l}}\over{\hbar}}}=e^{-i\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S})}\over{\hbar}}}</MATH>|30.6}}
Zatem otrzymaliśmy według {{LinkWzór|30.6}} następującą macierz obrotu sumy operatorów momentu pędu orbitalnego i operatora momentu pędu spinowego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-i\theta{{\vec{n}\left(\hat{l}+\hat{S}\right)}\over{\hbar}}}</MATH>|30.7|Obramuj}}
Nazwijmy całkowitym operatorem momentu pędu jako suma operatora orbitalnego momentu pędu i operatora momentu pędu spinowego kwantu promieniowania:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}=\hat{l}+\hat{S}</Math>|30.8}}
Całkowita macierz obrotu {{LinkWzór|30.7}}, korzystając z definicji całkowitego momentu pędu kwantu {{LinkWzór|30.8}} jest przedstawiona wedle następującego sposobu:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{j}}\over{\hbar}}}\;</MATH>|30.9|Obramuj}}
Rozpatrując wartości własne operatorów momentu pędu, to wtedy całkowity moment pędu kwantu promieniowania jest zapisany wedle następującego wzoru:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{S}</MATH>|30.10}}
 
==Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego==
[[Grafika:Zmiana pola wektorowego w zależności od infitezymalnego kąta.JPG|thumb|170px|Zmiana &delta; stałego pola pola przy obrocie układu o kąt &delta;&theta;]]
W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisanej według {{LinkWzór|30.7}} i jeśli w nim dokonamy następującej operacji <math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym <MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych, według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam wtedy, tylko operatory zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, to wtedy funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej i pominąć wyższe wyrazy niż liniowe:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S}_{k^'k})}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\Rightarrow</MATH><BR><MATH>\Rightarrow
\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{1}\over{\hbar}}\underbrace{\hat{l}\psi_k(\vec{r})}_{0}-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})
Linia 38:
{{IndexWzór|<MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})=
-(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta\Rightarrow\left(\sum_k i{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\right)\delta\theta=(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta</MATH>|30.14}}
I ostatecznie w ostatnim równaniu {{LinkWzór|30.14}} dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy następującą tożsamość, którą póżniejpóźniej wykorzystamy dla ściśle określonych <MATH>k^'\;</MATH>, zatem wtedy można powiedzieć:
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <MATH>k^'\;</MATH> równej jeden, czyli<MATH>k^'=1\;</MATH>;
Linia 93:
\end{pmatrix}</MATH>|30.24}}
|}
Związki między współrzędnymi macierzy spinowych, które później udowodnimy przedstawiamy, podobnie jak dla zwykłych orbitalnych operatorów momentu pędu, następująco:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z\;</MATH>|30.25}}
Linia 209:
0&-i&0
\end{pmatrix}=i\hbar\hat{S}_y</MATH>|30.30}}
Komutatory {{LinkWzór|30.25}}, {{LinkWzór|30.26}} i {{LinkWzór|30.27}} można ogólnie zapisać tak jak w przypadku operatorów momentu pędu orbitalnego {{LinkWzór|6.12|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Komutacja_operatorów_fizycznych}} według następującego schematu:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{S}_i,\hat{S}_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{S}_k</MATH>|30.31}}
Teraz policzmy kwadrat macierzy operatora spinowego, który jak wiadomo jest sumą kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu spinowego zdefiniowanych wedle {{LinkWzór|30.22}}(<MATH>\hat{S}_x\;</MATH>), {{LinkWzór|30.23}}(<MATH>\hat{S}_y\;</MATH>) i {{LinkWzór|30.24}}(<MATH>\hat{S}_z\;</MATH>):
Linia 346:
0&0&0
\end{pmatrix}</MATH>|30.43}}
Również można udowodnić, że zachodzą następujące związki na wektorach spinowych drugiego rzędu na macierzach spinowych {{LinkWzór|30.41}}, {{LinkWzór|30.42}} i {{LinkWzór|30.43}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_{+}\vec{\chi}_k=\sqrt{(S-k)(S+k+1)}\vec{\chi}_{k+1}</MATH>|30.44}}
Linia 408:
Wiadomo, że jeśli zachodzi:<MATH>\hat{l}_zY_{lm}=m\hbar Y_{lm}</MATH>,to powinno również zachodzić inne równanie własne ale wynikającego ze wspomnianego równania:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}_z(\hat{l}Y_{lm})=m\hbar(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.47}}
A teraz przejdźmy do dowodu ostatniego stwierdzenia wykorzystując przy tym, że całkowity operator momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem {{LinkWzór|30.10}}, to operator całkowitego momentu pędu wyraża się bardzo podobnym wzorem, zatem wspomniany ostatnio wzór można udowodnić wedle następujących przekształceń:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}_z(\hat{l}Y_{lm})=(\hat{l}_z+\hat{S}_z)\begin{pmatrix}
\hat{l}_xY_{lm}\\