Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 2:
Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartości pewnych wyrazów nie bezpośrednio, ale pośrednio przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi, całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej.
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
Równaniem różnicowym liniowym pierwszego rzędu możemy zapisać równaniem
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|19.1}}
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną określoną wzorem:
Linia 12:
Z równania {{linkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}.
Precedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle n ie trzeba się do niej ucziekać, bo wystarczy na rozpisać kilka pierwszych wyrazów na y<sub>m</sub> i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.
==Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego==
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego pierwszego rzędu drugiego, do którego często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
| |||