Wikibooks

Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 25:
Jeśli zaburzenie jest małe to w niektórych przypadkach możemy zapisać:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.10}}
Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Fizyka_matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Fizyka_matematyczna/Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i wiedząc, że zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.11}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według równania {{LinkWzór|20.4|Fizyka_matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} i operatora Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Fizyka_matematyczna/Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|MMF}}, z której będziemy mogli napisać ten nasz operator dla przestrzeni trójwymiarowej, wymnażając funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.8}}, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=\hat{O}^{-1}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}\hat{O}^{-1}e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}=
Linia 66:
 
==Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Klieina-Gordona==
Gęstość Lagrangianu {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} uzupełnijmy od dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy ta nasza gęstość Lagrangianu zapisując je w postaci pełnej:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.20}}
Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.20}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi+J\;</MATH>|28.21}}
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}}, wtedy nasze równanie różniczkowe ruchu bardzo podobne do równania Klieina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo tu zachodzi<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, przechodzi w równanie:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}
Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> są przedstawiane według wzoru:
Linia 88:
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>.
Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena {{LinkWzór|28.27}} oraz funkcje dla równania różniczkowego jednorodnego {{LinkWzór|28.8}}, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|28.23}} jest w postaci {{LinkWzór|28.7}}.
<noinclude>{{Fizyka_matematyczna/Nawigacja|Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa|[[Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Symetria cechowania transformacji ładunkowej|Symetria cechowania transformacji ładunkowej]]|[[Fizyka_matematyczna/Mechanika kwantowa/Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu a jego przekroje|Asymptotyczne właściwości wektora własnego...]]
}}</noinclude>
<noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Funkcje_Greena_w_teorii_kwantów”