Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 1:
<noinclude>{{TopPage}}{{Podręcznik}}</noinclude>
Punktem wyjścia każdej rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale dla funkcji podcałkowej D zależącego od argumentu x, zatem zapisujemy w postaci:
{{IndexWzór|<math>L[y]=\int_{a}^{b}F(x,y(x),y^'(x))dx\;</MATH>|17.1}}
Funkcjonał w rachunku wariacyjnym nie jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:
{{IndexWzór|<MATH>L[py_1+qy_2]\neq pL[y_1]+qL[y_2]\;</MATH>|17.2}}
FunkcjaFunkcjonał podcałkowanapisanej wedle we wzorzewzoru {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że jestmamy oznaczeniem, że mamydo doczynieniaczynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.
==Wariacje funkcji i funkcjonału==
Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako różnicy funkcji y<sub>1</sub> i funkcji y i to oznaczamy matematycznie:
{{IndexWzór|<MATH>\delta y=y_1-y\;</MATH>|17.3}}
Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co matematycznie piszemy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>||\delta y||=\operatorname{max}|y_1(x)-y(x)|<<1\;</MATH>|17.4}}
Wariację funkcjonału L, czyli &delta;y definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle sposobu:
{{IndexWzór|<MATH>L[y+\delta y]-L[y]=\delta L[y,\delta y]+0(\delta y)\;</MATH>|17.5}}
Ostatni człon oznacza resztę, która jest małamałą wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y
 
==Ekstremum funkcjonału==
Linia 18:
{{IndexWzór|<MATH>L[y]\geq L[y_o]\;</MATH>|17.6}}
Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału.
Warunkiem koniecznym istnienia funcjonału jest znikanie funkcjonału L dla tutaj funkcji szukanej y, co matematycznie zapisujemy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L[y_0,\delta y_0]=0\;</MATH>|17.7}}
 
Linia 29:
Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:
{{IndexWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}
Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy fo funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce tak otrzymanychdokonujemy całkujemy przezpoprzez części względem argumentu x i zakładając , że wariacja funkcji y i jej wariacja pochodnej jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego możemy napisać równość:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L=\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'=
\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta(x)dx\;</MATH>|17.11}}
Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach {{linkWzór|17.11}} znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b) dla której wariacja funkcji y znika.
Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:
{{indexWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}}
Linia 41:
Funkcja we funkcjonale L[y] {{linkWzór|17.1}}, w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasz badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F<sup>*</sup> tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja:
{{IndexWzór|<MATH>F^*=F+\sum_j\lambda_j\phi_j\;</MATH>|17.14}}
Mając już nową funkcję {{linkWzór|17.14}} i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do {{linkWzór|17.1}} i wtemw ten sposób możemy określić funkcjonał L<sup>*</sup>, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór {{linkWzór|17.1213}} bywynikająca zerowania się wariacji funkcjonału <MATH>F^*</MATH>, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia znaleźćnaszej nasząszukanej szukanąfunkcji y(x).
<noinclude>{{kreska nawigacja|Metody matematyczne fizyki|Transformacja Laplace'a|Grupy i ich reprezentacje}}</noinclude><noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_wariacyjny”