Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 16:
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|19.5}}
Rozwiązaniem tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej
{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\mbox{, }m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|19.6}}
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>, w ten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:
Linia 26:
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|19.10}}
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|19.7}} jest równy zero, zatem wtedy po podstawieniu naszego rozwiązania do równania różnicowego i po podzieleniu przez λ<sup>n</sup>,
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|19.11}}
|