Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

<noinclude>{{TopPage}}{{Podręcznik}}</noinclude>

==Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera==

Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora <MATH>\nabla\;</MATH> i operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna, zatem to równanie własne zapisuje w postaci

Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.1}} przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych <MATH>-{{2m}\over{\hbar^2}}\;</MATH>, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, wtedy można napisać:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.2}}

{|width=100%|-

|{{IndexWzór|<MATH>E={{\hbar^2k_0^2}\over{2m}}\geq 0\;</MATH>|28.3}}

W równaniu {{LinkWzór|28.5}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, wtedy to równania zapisujemy w postaci:

{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.6}}

{|width=100%|-

|{{IndexWzór|<MATH>K(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.7}}

Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy je na w sposób:

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=\psi_0(\vec{r})+\psi_1(\vec{r})\;</MATH>|28.9}}

{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.10}}

Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i wiedząc, że zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana wzorem:

 

==Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Klieina-Gordona==

{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.20}}

Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.20}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:

Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:

{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}

Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> są przedstawiane według wzoru:

|{{IndexWzór|<MATH>K(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.25}}

|}

{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)G(\underline{x},\underline{x}^')=\delta^4(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|28.26}}

{{IndexWzór|<MATh>G(\underline{x},\underline{x}^')={{1}\over{(2\pi)^4}}\int \hat{O}^{-1}e^{ik(\underline{x}-\underline{x}^')}=

{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=

-{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.27}}

W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>.

<noinclude>{{kreska nawigacja|Mechanika kwantowa|Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu a jego przekroje|Symetria cechowania transformacji ładunkowej}}</noinclude><noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>