Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru: Różnice pomiędzy wersjami

Aksjomat wyboru wśród innych aksjomatów teorii mnogości wywołuje wśród matematyków wiele kontrowersji. Jest to bowiem aksjomat, który definiuje istnienie zbioru bez podania jego konstrukcji. W matematyce pojawił się dość wcześnie jednak jego sformułowanie podał dopiero w roku 1904 Ernst Zermelo (praca [1]). Właśnie wtedy rozpoczęło się najwięcej dyskusji na ten temat. Uważano bowiem, że dowody, które korzystały w pewnika wyboru miały, z uwagi na charakter aksjomatu, inną naturę, anieżeli dowody bez pewnika. Jego zadziwające konsekwencje pokazali Stefan Banach i Alfred Tarski, udowodnili bowiem, że przy użyciu pewnika wyboru da się rozłożyć kulę na skończoną liczbę części, a następnie złożyć z nich przez pewne przekształcenia, dwie identyczne z pierwszą kulą. Stąd też rozróżnienie przy definiowaniu systemu i opartej na nim teorii zbiorów na teorię mnogości ZF (model bez pewnika wybory) w której czasami przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru i ZFC (model z dodanym pewnikiem wyboru).

 

{{Definicja|Dla każdej rodziny zbiorów <math>\mathcal{A} = \{A_t\}_{t\in T}</math> parami rozlącznych i niepustych, istnieje zbiór S, który ma przekrój jednoelementowy z każdym ze zbiorów <math>A_t</math>}}

Kwantyfikatorowo:

{{Definicja3|<math> (\forall_{X,Y\in \mathcal{A}}) \left((X \neq\emptyset)\wedge((X\neq Y)\Rightarrow(X\cap Y=\emptyset))\Rightarrow(\exists_S)(\forall_{X\in\mathcal{A}})(\exists_{x})(\forall_y)((y\in S\cap X) \equiv (y=x))\right) </math>}}

 

==Bibliografia==