Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
|||
Linia 14:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-U(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=-k_0^2\psi\;</MATH>|28.5}}
Widzimy, że wyrażenie {{LinkWzór|28.5}} spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń.
W równaniu {{LinkWzór|28.5}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, wtedy to
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.6}}
Porównując równanie {{LinkWzór|28.6}} z {{LinkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:
Linia 27:
Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i wiedząc, że zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.11}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=\hat{O}^{-1}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}\hat{O}^{-1}e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}=
Linia 58:
W całce {{LinkWzór|28.13}} dokonajmy podstawienia <MATH>k_0^2-k^2+i\epsilon=\rho e^{i\theta}\;</MAtH>, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy <MATH>-2kdk=\rho e^{i\theta}i d\theta\Rightarrow kdk=-{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta\;</MATH>, wykorzystując te podstawienia do całki {{LinkWzór|28.13}} oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach <Math>k=\pm \sqrt{k_0^2+i\epsilon}=\pm\sqrt{k_0^2\left(1+{{i\epsilon}\over{k_0^2}}\right)}\simeq \pm k_0\pm{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\;</MATH>.
Gdy <MATH>\epsilon>0\;</MATH>, to do półokręgu należy oczywiście punkt <MATH>k=k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow k_0\;</Math>, a drugi nie należy, ale gdy natomiast <MaTh>\epsilon<0\;</MATH>, to do półokręgu należy drugi punkt <MATH>k=-k_0-{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow -k_0\;</MATH>, a pierwszy nie należy.
Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku <MATH>\epsilon\rightarrow 0\;</MATH>, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}(-1){{{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta}\over{\rho e^{i\theta}}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><MaTH>=
-{{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}i{{1}\over{2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}d\theta e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{\pm i(k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}})|\vec{r}-\vec{r}^'|}\int_0^{2\pi}d\theta=\;</MATH><BR><MATH>=-{{1}\over{8\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}2\pi=-{{1}\over{4\pi}}{{e^{\pm ik_0|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\over{|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\;</MATH>|28.18}}
| |||