Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 4:
Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora <MATH>\nabla\;</MATH> i operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna, zatem to równanie własne zapisuje w postaci
{{IndexWzór|<MATH>\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.1}}
Pomnóżmy równanie własne {{LinkWzór|28.1}} przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych <MATH>-{{2m}\over{\hbar^2}}\;</MATH>, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach,
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-{{2m V(\vec{r})}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\vec{r})=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.2}}
Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.2}} na funkcję <MATH>V(\vec{r})\;</MATH> i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:
Linia 11:
|{{IndexWzór|<MATH>V(\vec{r})={{\hbar}\over{2m}}U(\vec{r})\;</MATH>|28.4}}
|}
Na podstawie {{LinkWzór|28.3}} (definicja stałej E) i {{LinkWzór|28.4}} (definicja <MATH>V(\vec{r})\;</MATH>),
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2-U(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})=-k_0^2\psi\;</MATH>|28.5}}
Widzimy, że wyrażenie {{LinkWzór|28.5}} spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń.
W równaniu {{LinkWzór|28.5}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą,
{{IndexWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.6}}
Porównując równanie {{LinkWzór|28.6}} z {{LinkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:
Linia 27:
Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcją własną operatora energii jest funkcja {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}} i wiedząc, że zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena i która jest przestawiana:
{{IndexWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.11}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według jego definicji {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|MMF}}, z której będziemy mogli napisać ten nasz operator dla przestrzeni trójwymiarowej, wymnażając funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, oraz z definicji operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH>{{LinkWzór|28.8}}
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=\hat{O}^{-1}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}\hat{O}^{-1}e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}=
Linia 72:
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}},
{{IndexWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}
Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> są przedstawiane według wzoru:
| |||