Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 22:
Całkowita macierz obrotu {{LinkWzór|30.7}}, korzystając z definicji całkowitego momentu pędu kwantu {{LinkWzór|30.8}} jest przedstawiona:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{j}}\over{\hbar}}}\;</MATH>|30.9|Obramuj}}
Rozpatrując wartości własne operatorów momentu pędu, to wtedy całkowity moment pędu kwantu promieniowania jest zapisany wedle wzoru:
{{IndexWzór|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{S}</MATH>|30.10}}
 
==Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego==
[[Grafika:Zmiana pola wektorowego w zależności od infitezymalnego kąta.JPG|thumb|170px|Zmiana &delta; stałego pola pola przy obrocie układu o kąt &delta;&theta;]]
W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisanej według {{LinkWzór|30.7}} i jeśli w nim dokonamy operacji <math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym <MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych, według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, to wtedy funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej i pominąć wyższe wyrazy niż liniowe:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S}_{k^'k})}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\Rightarrow</MATH><BR><MATH>\Rightarrow
\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{1}\over{\hbar}}\underbrace{\hat{l}\psi_k(\vec{r})}_{0}-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})
Linia 38:
{{IndexWzór|<MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})=
-(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta\Rightarrow\left(\sum_k i{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\right)\delta\theta=(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta</MATH>|30.14}}
I ostatecznie w ostatnim równaniu {{LinkWzór|30.14}} dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy tożsamość, którą później wykorzystamy dla ściśle określonych <MATH>k^'\;</MATH>, zatem wtedy można powiedzieć:
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <MATH>k^'\;</MATH> równej jeden, czyli<MATH>k^'=1\;</MATH>;
Linia 54:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[x (S_x)_{21}+y(S_y)_{21}+z(S_z)_{21}\right]\psi_1+i\left[x(S_x)_{22}+y(S_y)_{22}+z(S_z)_{22}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
<MATH>+i\left[x(S_x)_{23}+y(S_y)_{23}+z(S_z)_{23}\right]\psi_3=\hbar[\psi_3 x-\psi_1z]\;</MATH>|30.18}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.18}}, wtedyto dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[x (S_x)_{21}+y(S_y)_{21}+z(S_z)_{21}\right]=-z\\
(S_x)_{22}=(S_y)_{22}=(S_z)_{22}=0\\
Linia 74:
(S_y)_{31}=-i\hbar\\
(S_x)_{32}=i\hbar\end{cases}\;</Math>|30.21}}
Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe <MATH>\hat{S}</MATH> na podstawie obliczeń dokonanych w punktach {{LinkWzór|30.17}}, {{LinkWzór|30.19}} i {{LinkWzór|30.21}}, wtedy te operatory są w postaci:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_x=\hbar