Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 14:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{D}^{(1)}=e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{S}}\over{\hbar}}}</MATH>|30.5}}
*gdzie <MATH>\hat{S}</MATH>- jest to macierz spinowa:
Całkowity operator obrotu jest operatorem iloczynu dwóch operatorów {{LinkWzór|30.1}} oraz {{LinkWzór|30.5}}
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=\hat{D}^{(1)}\hat{T} =e^{-i\theta{{(\vec{n}\hat{S})}\over{\hbar}}}e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{l}}\over{\hbar}}}=e^{-i\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S})}\over{\hbar}}}</MATH>|30.6}}
Zatem otrzymaliśmy według {{LinkWzór|30.6}} macierz obrotu sumy operatorów momentu pędu orbitalnego i operatora momentu pędu spinowego:
Linia 35:
Z drugiej jednak strony z rysunku obok możemy jednak zapisać przy pomocy wektora <MATH>\vec{n}\;</MATH> wzdłuż której następuje obrót o kierunku odwrotnie ze wskazówkami zegara, jeśli zwrot tego wektora jest nad zegarem:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\psi=-(\psi\times\vec{n})\delta\theta</MATH>|30.13}}
Ponieważ wzory {{LinkWzór|30.12}} i {{LinkWzór|30.13}} przedstawiają to samo, dla tej samej współrzędnej wektora falowego, ale dla stałego pola wektorowego,
{{IndexWzór|<MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})=
-(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta\Rightarrow\left(\sum_k i{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\right)\delta\theta=(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta</MATH>|30.14}}
I ostatecznie w ostatnim równaniu {{LinkWzór|30.14}} dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy tożsamość, którą później wykorzystamy dla ściśle określonych <MATH>k^'\;</MATH>
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <MATH>k^'\;</MATH> równej jeden, czyli<MATH>k^'=1\;</MATH>;
Linia 74:
(S_y)_{31}=-i\hbar\\
(S_x)_{32}=i\hbar\end{cases}\;</Math>|30.21}}
Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe <MATH>\hat{S}</MATH> na podstawie obliczeń dokonanych w punktach {{LinkWzór|30.17}}, {{LinkWzór|30.19}} i {{LinkWzór|30.21}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_x=\hbar
| |||