Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 5:
Wprowadźmy jednostkę liczb urojoną "i", którego kwadrat jest równy minus jeden, zatem każdą liczbę zespoloną piszemy:
{{IndexWzór|<MATH>z=\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z)=x+i y\;</MATH>|8.1}}
Część rzeczywista liczby zespolonej zapisanej wzorem {{LinkWzór|8.1}} oznaczamy symbolem Re(z), a część
==Płaszczyzna zespolona==
Każdą liczbę zespoloną możemy przestawić w postaci punktu na płaszczyźnie zespolonej, bo liczby zespolone według wzoru {{LinkWzór|8.1}} mają część rzeczywistą i urojoną, a część urojona występuje przy symbolu i. Wszystkie liczby zespolone wypełniają całą płaszczyznę zespoloną, co przestawiamy rysunkiem z prawej strony.
Linia 56:
Całkowanie funkcji {{linkWzór|8.12}} po konturze w przestrzeni zespolonej nazywamy całkowaniem, które zapisujemy wedle wzoru :
{{IndexWzór|<MATH>\int_Cf(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\int_C\left(udx-vdy\right)+i\int_C\left(vdx+udy\right)\;</MATH>|8.16}}
Jesli wykorzystamy
{{IndexWzór|<MATH>\int_C f(x,y)dx+g(x,y)dy=\int_S\left({{\partial g}\over{\partial y}}-{{\partial f}\over{\partial x}}\right)dxdy\;</MATH>|8.17}}
Całkę {{LinkWzór|8.12}}, korzystając przy tym z twierdzenia całki okrężnej funkcji Greena, zapisujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\oint_Cf(z)dz=\int_S\left(-{{\partial u}\over{\partial y}}-{{\partial v}\over{\partial x}}\right)dxdy+i\int_S\left({{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}\right)dxdy\;</MATH>|8.18}}
Dla funkcji holomorficznej całka okrężna {{LinkWzór|8.18}}, a stąd również {{linkWzór|8.16}}, czyli na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}, przyjmuje wartość zero.
==Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego==
Linia 67:
Całkowanie występujące we wzorze {{LinkWzór|8.19}} możemy tak przekształcić, po dokonaniu do niego podstawienia <MATH>_{t-z=re^{i\phi}}\;</MATH>, a stąd możemy napisać wzór na dt, wtedy: <MATH>_{dt=ire^{i\phi}dt}\;</MATH>, zatem możemy wyznaczyć wyrażenie całkowe:
{{IndexWzór|<MATH>\oint{{f(t)}\over{t-z}}dt=\oint{{f(t+re^{i\phi})}\over{re^{i\phi}}}ire^{i\phi}d\phi=i\oint f(z+re^{\phi})d\phi\;</MATH>|8.20}}
Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalająca wspomniany punkt osobliwy by dążył do zera, zatem
{{IndexWzór|<MATH>i\oint f(z+re^{\phi})d\phi=i\int_0^{2\pi} f(z_0)d\phi=if(z_0)\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi i f(z_0)\;</MATH>|8.21}}
Na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.21}}, {{LinkWzór|8.20}} dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór {{linkWzór|8.19}}, co kończy dowód naszego twierdzenia.
==Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu==
Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z<sub>0</sub>), zatem na tej podstawie nasz szereg:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\;</MATH>|8.22}}
Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z<sub>0</sub>, dokonując podstawienia <MATH>_{t-z=re^{i\phi}}\;</MATH>, otrzymujemy:
Linia 89:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint{{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}={{1}\over{2\pi i}}\oint{{1}\over{(z-z_0)^{m+1}}}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)=\;</MATH><BR><MATH>
{{1}\over{2\pi i}}b_{n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz={{1}\over{2\pi i}}b_{n}2\pi i=b_{n}\;</MATH>|8.27}}
Na podstawie końcowych obliczeń współczynniki szeregu Laurenta {{LinkWzór|8.22}}
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>a_{-n}={{1}\over{2\pi i}}\oint_C(z-z_0)^{n-1}f(z)dz\;</MATH>|8.28|Obramuj}}
Linia 116:
Kat między wektorami {{LinkWzór|8.34}} a {{LinkWzór|8.35}} określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów <MATH>\vec{T}_1\;</MATH>,<MATH>\vec{T}_2\;</MATH> i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kata pomiędzy naszymi omawianymi wektorami.
{{IndexWzór|<MATH>\cos\alpha={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}\;</MATH>|8.36}}
Określmy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji {{LinkWzór|8.16}} względem zmiennych x i y, zatem tą macierz określamy wedle sposobu poniżej, i przekształcimy tą macierz z warunku na holomorficzność funkcji {{LinkWzór|8.12}}, czyli ze wzoru określająca tą właściwość funkcji, tj. {{linkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}.
{{IndexWzór|<MATH>F=\begin{bmatrix}
{{\partial u}\over{\partial x}}&{{\partial u}\over{\partial y}}\\
| |||