Astrofizyka/Newtonowski model gwiazdy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m naw |
m ort., int., WP:SK |
||
Linia 1:
'''Newtonowski model gwiazdy'''
Gwiazda jest wynikiem równowagi między zapadaniem grawitacyjnym a ciśnieniem gazu starającym się przeciwdziałać kolapsowi. Dla kuli gazu o promieniu r źródłem grawitacji jest masa w niej zawarta:
<center><math>
m(r)=4\pi \int_{0}^{r} {r'}^2 dr' \rho(r')</math></center>
Masa ta na powierzchni jest źródłem przyśpieszenia grawitacyjnego:
<center><math>
g(r)=G_N \frac{m(r)}{r^2}
Linia 10:
Na mały element masy dm=ρ(r)dV=ρ(r)S dr działa różnica sił δF=F(r + dr) - F(r)=dP S
<math>\delta F= - g(r)dm. </math>
Daje to równania:
<center><math>
\frac{dP}{dr}= - G_N \frac{m(r)\rho(r)}{r^2} \quad(1)
Linia 17:
\frac{dm}{dr}=4\pi\rho(r) r^2 \quad(2)</math>
</center>
Równania te należy uzupełnić równaniem stanu:
: P=P(ρ)
Przy zadanych warunkach początkowych (np. gęstość ρc w centrum gwiazdy) jest to układ równań różniczkowych którego rozwiązanie da rozkład masy w gwieździe m(r), gęstości ρ(r) czy ciśnienia P(r).
Linia 26:
<center><math>\frac{dL}{dr}=4\pi r^{2} \epsilon(r) =4\pi r^{2} \rho(r) p_m</math></center>
Płynący z wnętrza strumień energii jest konsekwencją różnicy temperatur
<center><math>j(r)=-K \frac{dT}{dr},</math></center>
gdzie K jest przewodnictwem cieplnym ośrodka (plazmy). Wysyłane promieniowanie przez sferę o promieniu r oczywiście wywołane jest przez strumień energii
:: <math>L(r)=4\pi r^2 j(r)</math>
Rozkład temperatury T(r) i promieniowania gwiazdy L(r) opisany jest więc dodatkowymi równaniami różniczkowymi:
Linia 37:
Przewodnictwo cieplne w gwieździe nie jest stałe. Zależy ono silnie od mechanizmu transportu energii, od temperatury i gęstości wewnątrz gwiazdy.
Równania gwiazdy należy więc uzupełnić równaniem na [[w:przewodnictwo cieplne|przewodnictwo cieplne]] ośrodka:
: K=K(ρ,T)
Jeżeli przewodnictwo cieplne zdominowane jest przez promieniowanie ([[gaz fotonowy]]) to:
<center><math>K = \frac{4}{3}c \lambda a T^3</math></center>
gdzie σ=a c/4 jest współczynnikiem występującym w prawie Stefana-Boltzmanna ([[w:ciało doskonale czarne|ciało doskonale czarne]]), a
<center><math>\lambda =\frac{1}{\rho \kappa}</math></center>
jest średnią drogą swobodną fotonu w
W
<center><math>\lambda =\frac{1}{\rho \kappa}=\frac{1}{n_e \sigma_e}.</math></center>
Dla przykładu
== Równanie Lanego-Emdena ==
Równania gwiazdy newtonowskiej:
<center><math>
\frac{dP}{dr}= - G_N \frac{m(r)\rho(r)}{r^2}
Linia 63 ⟶ 62:
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr})=-4\pi G \rho(r) </math>
</center>
Równania te należy uzupełnić równaniem stanu. Tak dla przykładu
: P=K ρ<sup>Γ</sup> z Γ=1+1/n
jako wykładnikiem politropy. Bardzo
:: r=r<sub>0</sub> x
:: <math>\frac{1}{r_0^2}=\frac{4\pi G \rho^{2-\Gamma}_{c}}{K (n+1)}</math>
gdzie ρ<sub>c</sub> jest gęstością centralną gwiazdy. Podstawienie:
:: ρ = ρ<sub>c</sub> θ<sup>n</sup>(x)
przekształca ostatnie równanie do równania Lanego-Emdena
<center><math>
Linia 75 ⟶ 74:
</center>
Istnieje kilka rozwiązań analitycznych. Dla przykładu, dla n=1 rozwiązaniem jest
:: θ(x)=sin(x)/x.
Ciśnienie w gwieździe jest równe
:: P=K ρ<sub>c</sub><sup>Γ</sup>θ<sup>n+1</sup>.
Zerowanie się ciśnienia dla pewnego x<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>=π/2 dla n=1) wyznacza promień gwiazdy. Rozkład masy wewnątrz gwiazdy wyznacza funkcja m(r). Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową wielkość
:: u(x)=m(r)/M<sub>S</sub>
gdzie M<sub>S</sub> jest masą Słońca. Jeżeli przez M<sub>c</sub> oznaczymy sobie jako
:: <math>M_c = \frac{4}{3} r_0^3 \rho_c, </math>
to drugie równanie można scałkować od 0 do x<sub>0</sub>, co da masę gwiazdy
<center><math>
\frac{M}{M_s} = 3 \frac{M_c}{M_s} \int_{0}^{x_0}dx x^2 \theta^n(x) </math>
</center>
== Przybliżenie Claytona ==
W środku gwiazdy
:: <math>m(r)=\frac{4\pi}{3}\rho_c r^3 </math>
Gradient ciśnienia maleje wtedy liniowo:
:: <math>\frac{dP}{dr}=-\frac{4\pi}{3} G \rho_c^2 r </math>
Przy powierzchni gwiazdy ciśnienie powinno znikać. Ten fakt opisuje przybliżenie, które zrobił Clayton:
:: <math>\frac{dP}{dr}=-\frac{4\pi}{3} G \rho_c^2 r e^{-(\frac{r}{a})^2}</math>
wprowadzając ekspotencjalny zanik gradientu ciśnienia dla odległości rzędu a. Stała a jest wielkością fenomenologiczną dopasowywaną do danych obserwacyjnych. Pośrednio wyznacza ona promień gwiazdy. Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową zmienną x:
:: r= a x
Można scałkować równanie dla ciśnienia, otrzymujemy:
:: <math>P(x)=\frac{2\pi}{3} G \rho_c^2 (e^{-x^2}-e^{-x_0^2}) </math>
gdzie
:: x<sub>0</sub>=R/a.
[[Grafika:Clayton.png|right|300px|Rozkład masy i ciśnienia dla gwiazdy newtonowskiej w przybliżeniu Claytona.]]
Dzieląc stronami równania (1) i (2) i całkując, otrzymujemy funkcyjną postać dla narastania masy w gwieździe:
<center><math>m(x) = M_a \phi(x)</math></center>
z
:: <math>
\phi^2(x) = 6\int_{0}^{x}dy y^5 e^{-y^2}=6-3 (x^4+2x^2+2)e^{-x^2}</math>
gdzie
:: <math>M_a = \frac{4}{3} a^3 \rho_c </math>
Masa gwiazdy wyznaczona jest przez funkcję φ w punkcie x<sub>0</sub>
:: <math>M=M_a \phi(x_0) </math>
== Linki zewnętrzne ==
* [http://arxiv.org/abs/astro-ph/9610099 ''Variational Principles for Stellar Structure''], Dallas C. Kennedy, Sidney A. Bludman, 1996.▼
▲*[http://arxiv.org/abs/astro-ph/9610099 Variational Principles for Stellar Structure], Dallas C. Kennedy, Sidney A. Bludman, 1996
<noinclude>
| |||