Astrofizyka/Kosmologia Newtonowska: Różnice pomiędzy wersjami

Wyobraźmy sobie dowolne dwie galaktyki oddalone w chwili obecnej <math>t_0</math> o odległość <math>dl_0</math>. Jeżeli Wszechświat jest dynamiczny i rozszerza się, to ich odległość w chwili t będzie równa:

a(t) nazywamy '''czynnikiem skali'''. Wygodnie jest tak wybrać parametryzacje, by w chwili obecnej <math>t_0</math> czynnik skali <math>a(t_0)=1</math>.

Jest to słynna zależność Hubble'a, a H jest stałą Hubble'a:

W chili obecnej stała Hubble'a może bycbyć wyrażona przez bezwymiarową wielkość h:

czas Hubble'a :

U podstaw kosmologii leży '''[[zasada kosmologiczna]]'''. Wyobraźmy sobie dowolną galaktykę o masie m umieszczoną na powierzchni kuli o dowolnym promieniu l umieszczonej w dowolnym punkcie O. Całkowita energia tej galaktyki jest równa:

M jest masą zawartą w kuli o promieniu l:

: <math>M=\frac{4\pi}{3}l^3 \rho </math>

Przypadek z E=0 (realizowany w ogólnej teorii względności) daje:

: <math>v^2=H^2 l^2 = \frac{8 \pi }{3}G \rho l^2 </math>

Wynik nie zależy od rozmiaru kuli l (można uprościć przez <math>l^2</math>). Ostatecznie otrzymujemy:

Wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej wyznacza '''gęstość krytyczną''':

: <math>\rho_{c} = 1.88 h^2 10^{-29}\ g \ cm^{-3}= 2.77 \ 10^{11} \ h^2 \ M_S \ Mpc^{-3} = 11.26 h^2 \ protons \ m^{-3} </math>

:: <math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_c} </math>

określającym względną gęstość materii w stosunku do gęstości krytycznej. Zakładając zachowanie masy w rozszerzającej się objętości otrzymujemy:

:: <math>\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{V_0 a^3}=\frac{\rho_0}{a^3}</math>

Pamiętając, że :

:: <math>H=\frac{\dot{a}}{a}</math>

otrzymujemy równanie różniczkowe na czynnik skali:

:: <math>\frac{da}{dt}=H_0 \sqrt{\frac{\Omega}{a}}</math>

Rozwiązaniem tego równania jest:

:: <math>a(t)=( \frac{t}{t_0} )^{\frac{2}{3}}</math>

gdzie:

:: <math>t_0=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt{\Omega}}t_H </math>