Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
poprawki |
|||
Linia 1:
<noinclude>{{TopPage}}{{Podręcznik}}</noinclude>
Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|19.1}}
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej ''n'' jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:
{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|19.2}}
Wzór na zmienną y<sub>m</sub>
{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n \quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{,}\quad
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikająca z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:▼
▲Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego
{{IndexWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|19.4}}
Z równania {{linkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}.
Procedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle nie trzeba się do niej uciekać, bo wystarczy rozpisać kilka pierwszych wyrazów na y<sub>m</sub> i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.
Linia 16 ⟶ 23:
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|19.5}}
{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>, w ten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:▼
▲Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>,
{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|19.7}}
Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać parametry λ, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów w zależności od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|19.5}}:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|19.8}}
Ogólne rozwiązanie równania {{LinkWzór|19.5}} jest równanie:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|19.9}}
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest:
|