Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Lethern (dyskusja | edycje)
poprawki
Linia 1:
<noinclude>{{TopPage}}{{Podręcznik}}</noinclude>
 
Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartościwartość pewnychdanego wyrazówwyrazu niew bezpośrednio,sposób aleniebezpośredni - pośrednio, przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi: liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi, lub całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej.
 
==Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu==
RównaniemRównanie różnicowymróżnicowe liniowymliniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|19.1}}
 
Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{linkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej ''n'' jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:
{{IndexWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|19.2}}
 
Wzór na zmienną y<sub>m</sub> wyznaczonywyznaczoną ze wzoru {{linkWzór|19.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{linkWzór|19.1}} i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub>, wtedy dostajemy schemat:
{{IndexWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n \quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{,}\quad }c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|19.3}}
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikająca z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:
 
Ogólnym rozwiązaniem z<sub>n</sub> równania różnicowego wynikającawynikającym z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie:
{{IndexWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|19.4}}
 
Z równania {{linkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y<sub>m</sub> wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}.
 
Procedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle nie trzeba się do niej uciekać, bo wystarczy rozpisać kilka pierwszych wyrazów na y<sub>m</sub> i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.
 
Linia 16 ⟶ 23:
Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|19.5}}
 
RozwiązaniemRozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej:
{{IndexWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\mbox{,qquad }m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|19.6}}
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}} i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;<sup>m</sup>, w ten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:
 
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;<sup>m</sup>, w ten sposób dochodzimy do równania kwadratowego:
 
{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|19.7}}
Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać parametry &lambda;, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów w zależności od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|19.5}}:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|19.8}}
Ogólne rozwiązanie równania {{LinkWzór|19.5}} jest równanie:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|19.9}}
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli &lambda;=&lambda;<sub>1</sub>=&lambda;<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest: