Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
poprawki |
poprawki |
||
Linia 28:
Rozwiązanie {{linkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez λ<sup>m</sup>, dochodzimy do równania kwadratowego:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|19.7}}
Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać
{{IndexWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|19.8}}
{{IndexWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|19.9}}
Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ<sub>1</sub>=λ<sub>2</sub>, to rozwiązaniem równania różnicowego {{linkWzór|19.5}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|19.10}}
Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{linkWzór|19.7}} jest równy zero,
{{IndexWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow\;</MATH><BR>
<MATH>\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|19.11}}
Równanie {{LinkWzór|19.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} i wartości parametru <MATH>_{\lambda={{1}\over{2}}a}\;</MATH>, gdy rozwiązaniem tego równania {{LinkWzór|19.7}} są dwa jednakowe pierwiastki.
<noinclude>{{kreska nawigacja|Metody matematyczne fizyki|Funkcje Greena|Transformacja Laplace'a}}</noinclude>
<noinclude>{{BottomPage}}</noinclude>
| |||