Wersja z 01:53, 10 cze 2010 edytuj Fttrobin (dyskusja \| edycje) 61 edycji →‎Sformułowania i twierdzenia równoważne ← poprzednia edycja		Wersja z 17:58, 5 paź 2010 edytuj anuluj edycję Cathy Richards (dyskusja \| edycje) 728 edycji int., lit., WP:SK następna edycja →
Linia 1: == Kontrowersje == Aksjomat wyboru wśród innych aksjomatów teorii mnogości wywołuje wśród matematyków wiele kontrowersji. Jest to bowiem aksjomat, który definiuje istnienie zbioru bez podania jego konstrukcji. W matematyce pojawił się dość wcześnie, jednak jego sformułowanie podał dopiero w roku 1904 Ernst Zermelo (praca [1]). Właśnie wtedy rozpoczęło się najwięcej dyskusji na ten temat. Uważano bowiem, że dowody, które korzystały wz pewnika wyboru, miały, z uwagi na charakter aksjomatu, inną naturę, ~~anieżeli~~aniżeli dowody bez pewnika. Jego ~~zadziwające~~zadziwiające konsekwencje pokazali Stefan Banach i Alfred Tarski, udowodnili bowiem, że przy użyciu pewnika wyboru da się rozłożyć kulę na skończoną liczbę części, a następnie złożyć z nich przez pewne przekształcenia, dwie identyczne z pierwszą kulą. Stąd też rozróżnienie przy definiowaniu systemu i opartej na nim teorii zbiorów na teorię mnogości ZF (model bez pewnika ~~wybory~~wyboru), w której czasami przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru i ZFC (model z dodanym pewnikiem wyboru). == Definicja == {{Definicja\|Dla każdej rodziny zbiorów <math>\mathcal{A} = \{A_t\}_{t\in T}</math> parami ~~rozlącznych~~rozłącznych i niepustych, istnieje zbiór S, który ma przekrój jednoelementowy z każdym ze zbiorów <math>A_t</math>}} Kwantyfikatorowo: {{Definicja3\|<math> (\forall_{X,Y\in \mathcal{A}}) \left((X \neq\emptyset)\wedge((X\neq Y)\Rightarrow(X\cap Y=\emptyset))\Rightarrow(\exists_S)(\forall_{X\in\mathcal{A}})(\exists_{x})(\forall_y)((y\in S\cap X) \equiv (y=x))\right) </math>}} Aksjomat wyboru zwyczajowo oznacza się skrótem AC (z ang. Axiom of Choice). Twierdzenie, których dowody będą używały pewnika wyboru, będziemy oznaczali przez <math> ^{AC} </math> === Sformułowania i twierdzenia równoważne === Linia 14: {{Twierdzenie\|'''Twierdzenie Zermeli''' (o dobrym uporządkowaniu). Dla każdego zbioru A istnieje relacja < dobrze porządkująca zbiór A}} {{Twierdzenie\|'''Lemat Kuratowskiego-Zorna'''. Jeśli dla każdego łańcucha <math> A\subseteq X </math>, gdzie X jest zbiorem ~~uprządkowanym~~uporządkowanym, istnieje element maksymalny, to X też ma element maksymalny. }} {{Definicja3\|Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych, jej produkt jest zbiorem niepustym.}} Linia 20: Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie {{Twierdzenie\|Twierdzenie Zermeli implikuje, że dla każdej rodziny zbiorów niepustych, parami rozłącznych, istnieje selektor.}} Dowód. Niech <math> \mathcal{A} = \{A_t\}_{t\in T} </math> będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech <math> \mathcal{U} = \bigcup\mathcal{A} </math>. Z ~~twierdzenie~~twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze <math> \mathcal{U} </math>. Niech teraz <math> f:T\rightarrow\mathcal{U} </math> będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru <math> A_t </math>. Ponieważ <math> \mathcal{A} </math> jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny. <math> \ \ \Box </math> == Bibliografia == [1] Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 (1904), 514-516.

Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru: Różnice pomiędzy wersjami