Mechanika kwantowa/Teoria atomu wodoru Bohra: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 22:
===Wyprowadzenie wzoru Rydberga===
[[Grafika:Bohr Model.svg|thumb|right|300px|Z skwantowane orbity według teorii Bohra]]
Siła dośrodkowa działająca na elektron ze strony jądra atomu wodoru
{{IndexWzór|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>|2.3}}
Siła Coulomba znana z elektrostatyki, jeśli założymy, że w jądrze
{{IndexWzór|<MATH>F={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r^2}}</MATH>|2.4}}
Linia 31:
Mnożymy obustronnie równanie {{LinkWzór|2.5}} przez promień orbity kołowej elektronu r, to otrzymujemy inną równoważną zależność, w której występuje na razie prędkość cząstki i promień tejże rozważanej orbity:
{{IndexWzór|<MATH>mv^2={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}</MATH>|2.6}}
Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|2.2}} na skwantowany moment pędu i wyznaczamy z niego odwrotność promienia orbity kołowej, po której porusza się elektron:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{r}}={{mv}\over{n\hbar}}</MATH>|2.7}}
Podstawiamy wyrażenie {{LinkWzór|2.7}} na odwrotność promienia orbity do wzoru {{LinkWzór|2.6}}, to dostajemy wzór,
{{IndexWzór|<MATH>mv^2={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}Ze^2 {{mv}\over{n\hbar}}</MATH>|2.8}}
Teraz skracając przez wartość prędkości v z jaką elektron okrąża pewną orbitę kołową w równości {{LinkWzór|2.8}} oraz wiedząc, że prędkość elektronu na orbicie jest wielkością niezerową, bo ona nie może być tam w spoczynku, bo inaczej spadł by na jądro atomowe:
{{IndexWzór|<MATH>mv={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2m}\over{n\hbar}}</MATH>|2.9}}
Dzieląc obustronnie wzór {{LinkWzór|2.9}} przez masę elektronu m
{{IndexWzór|<MATH>v={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{n\hbar}}</MATH>|2.10}}
A teraz policzmy promień n-tej orbity z równania {{LinkWzór|2.2}} na skwantowaną prędkość cząstki na orbicie kołowej po wyznaczeniu z niego promienia tejże orbity:
Linia 43:
Podstawiając wyrażenie {{LinkWzór|2.10}} na kwantową prędkość elektronu krążącej na skwantowanej ściśle określonej orbicie kołowej do wyrażenia {{LinkWzór|2.11}} wynikającego z postulatu trzeciego Bohra, zatem nasz dyskretny promień zapisujemy wedle sposobu:
{{IndexWzór|<MATH>r={{n\hbar}\over{m}}{{4\pi\epsilon_0n\hbar}\over{Ze^2}}</MATH>|2.12}}
Ostatecznie w równaniu {{LinkWzór|2.12}} po krótkich przekształceniach dostajemy wzór na skwantowany promień orbity kołowej od zależący od jednej liczby kwantowej n:
{{IndexWzór|<MATH>r={{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}\over{mZe^2}}</math>|2.13}}
Z definicji energii kinetycznej według mechanice klasycznej, którą zapiszemy w zależności od jego wartości prędkości i po podstawieniu za wartość
{{IndexWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}{{1}\over{16\pi^2\epsilon_0^2}}{{Z^2e^4}\over{n^2\hbar^2}}\Rightarrow E_k={{1}\over{32\pi^2\epsilon_0^2}}{{Z^2e^4m}\over{n^2\hbar^2}}\Rightarrow E_k={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}</MATH>|2.14}}
Teraz napiszmy energię potencjalną elektronu na orbicie, po której krąży elektron o promieniu skwantowanym r, z definicji energii potencjalnej dla pola elektrostatycznego, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>E_p=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}</MATH>|2.15}}
Podstawmy we wzorze na energię potencjalną cząstki w polu elektrostatycznym {{LinkWzór|2.15}} za r, będące skwantowanym promienień orbity kołowej, czyli wedle wzoru {{LinkWzór|2.13}}, otrzymując:
{{IndexWzór|<MATH>E_p=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{mZ^2e^4}\over{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}}=-{{mZ^2e^2}\over{16\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}</MATH>|2.16}}
Wzór na całkowitą energię mechaniczną, która jest sumę energii kinetycznej wedle końcowego wzoru {{LinkWzór|2.14}}, i energii potencjalnej {{LinkWzór|2.16}}, jest zapisana wedle schematu:
{{IndexWzór|<MATH>E=E_k+E_p={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}-{{mZ^2e^2}\over{16\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}-2{{mZ^2e^2}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}=-{{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}=\;</MATH><BR><Math>=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2n^2h^2}}</MATH>|2.17}}
Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra jest ujemna, a więc elektron jest związany z jądrem atomowym, co przypuszczaliśmy, że tak może wyjść.
Z pierwszego postulatu Bohra
{{IndexWzór|<MATH>E_2-E_1=h\nu={{hc}\over{\lambda}}</MATH>|2.18}}
Wzór {{LinkWzór|2.18}} przedstawiający energię całkowitą fotonu, który zostaje wypromieniowany lub pochłonięty przez elektron, zatem z naszego rozważanego wzoru wyznaczamy odwrotność długości fali naszych fotonów:
{{IndexWzór|<MATH>{{E_2-E_1}\over{hc}}={{1}\over{\lambda}}</MATH>|2.19}}
Podstawiamy za E<
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda}}=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2h^3c}}\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)</MATH>|2.20}}
Stałą Rydberga we wzorze {{LinkWzór|2.20}} nazywamy przepis, która jest zależna od stałych fizycznych i od masy elektronu krążącej wokół jądra atomowego o liczbie atomowej Z i przedstawia się w sposób:
Linia 64:
Wykorzystując definicję stałej Rydberga {{LinkWzór|2.21}} we wzorze {{LinkWzór|2.20}}, to dochodzimy do wniosku, że długość fali emitowanych fotonów z atomu, przy przejściu elektronu z poziomu n<sub>2</sub> na poziom n<sub>1</sub>, jest równa:
{{IndexWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda}}=Z^2R\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)</MATH>|2.22}}
W wyrażeniu {{LinkWzór|2.22}}
==Serie w atomie wodoru==
| |||