Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przezprzed wyznaczeniem należy wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.

Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora <MATH>\&nabla\;</MATH> i ten operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna operatora całkowitej energii całkowitej, wtedypiszemy przez równanie:

Połóżmy występujące w równaniu {{LinkWzór|28.2}} na funkcję <MATH>V(\vec{r})\;</MATH> i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy je nają w sposób:

Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcjąfunkcja własnąwłasna operatora energii jest {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}}, wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena:

Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według jego definicji {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}} i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|MMF}}, w której będziemy mogli napisać operator <MATH>\hat{O}\;</MATH> {{LinkWzór|28.8}} dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać jej :

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena {{LinkWzór|28.12}} w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów <MATH>\vec{r}-\vec{r}^'\;</MATH> leży na osi OY rzędnych OY:

Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie <MATH>(0,0)\;</MATH>, wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla <math>R\rightarrow \infty\R→&infin;</MATH> ,a to z kolei dąży do {{LinkWzór|28.13}}, ale najpierw napiszmy zamiast k weźmy liczbę zespoloną <MaTH>R\cos\theta+iR\sin\theta\;</MATH>, zatem jeslijeśli <MATH>k\rightarrow\pm\infty\;</MATH>, to <MATH>R\rightarrow\infty\R→&infin;</MATH>, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla &epsilon; skończonego, ale nierównego zero, i zobaczymy co nam wyjdzie dalej:

Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale <MATH>(0,{{\pi}\over{2}})\;</math>, gdzie funkcja <MaTh> y=\sin x\;</MATH> jest zawsze większa niż prosta <MATH>y={{2}\over{\pi}}x\;</MaTH>, zatem zachodzi:<MATH>\sin x\geq {{2}\over{\pi}}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2}\over{\pi}}x\;</MATH>, zatem przedział całkowania w {{LinkWzór|28.14}} należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:

Całka {{LinkWzór|28.14}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|28.15}}, jest równa:

Całka na półokręgu {{LinkWzór|28.16}} dąży do zera na podstawie {{LinkWzór|28.17}}, bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu <MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku <MaTH>(-R,R)\;</MATH>, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH> wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu <MATH>\&rho\;</MATH> dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego.

Gdy <MATH>\&epsilon;>0\;</MATH>, to do półokręgu należy oczywiście punkt <MATH>k=k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow k_0\;</Math>, a drugi nie należy, ale gdy natomiast <MaTh>\&epsilon;<0\;</MATH>, to do półokręgu należy drugi punkt <MATH>k=-k_0-{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow -k_0\;</MATH>, a pierwszy nie należy.

Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku <MATH>\epsilon\rightarrow 0\;</MATH>, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.

OtrzymalismyOtrzymaliśmy według obliczeń {{LinkWzór|28.18}}, że funkcja Greena ma dwie postacie zapisując jezapisane w postaci ogólnej:

Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora <MATH>\hat{O}\;</MATH> i funkcji <MATH>K(\underline{x})\;</MATH> sąjest zarysowanezarysowana:

Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|MMF}}, oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej: