Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 11:
Transformacja funkcji falowej przedstawia się podobnie jak w przypadku współrzędnych wektora wodzącego {{LinkWzór|30.2}}, jeśli rozpatrujemy funkcje falowe w postaci wektora, to taką transformacje zapisujemy podobnie:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^'(r^')=R(\vec{n},\theta)\psi(r)</MATH>|30.4}}
Jeśli dodatkowo założymy, że kwant pola elektromagnetycznego posiada dodatkowy moment pędu i nazwijmy ją spinowym momentem pędu kwantu promieniowania, to operator transformacji w analogii do {{LinkWzór|30.1}} jest:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{D}^{(1)}=e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{S}}\over{\hbar}}}</MATH>|30.5}}
*gdzie <MATH>\hat{S}</MATH>- jest to macierz spinowa:
Całkowity operator obrotu jest operatorem iloczynu dwóch operatorów, tzn. {{LinkWzór|30.1}} oraz {{LinkWzór|30.5}}:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=\hat{D}^{(1)}\hat{T} =e^{-i\theta{{(\vec{n}\hat{S})}\over{\hbar}}}e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{l}}\over{\hbar}}}=e^{-i\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S})}\over{\hbar}}}</MATH>|30.6}}
Zatem otrzymaliśmy według {{LinkWzór|30.6}}, czyli macierz obrotu sumy operatorów momentu pędu orbitalnego i operatora momentu pędu spinowego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-i\theta{{\vec{n}\left(\hat{l}+\hat{S}\right)}\over{\hbar}}}</MATH>|30.7|Obramuj}}
Nazwijmy całkowitym operatorem momentu pędu jako suma operatora orbitalnego momentu pędu i operatora momentu pędu spinowego kwantu promieniowania:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}=\hat{l}+\hat{S}</Math>|30.8}}
Całkowita macierz obrotu {{LinkWzór|30.7}}, korzystając z definicji całkowitego momentu pędu kwantu {{LinkWzór|30.8}}, jest przedstawiona:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{P}=e^{-\theta{{\vec{n}\hat{j}}\over{\hbar}}}\;</MATH>|30.9|Obramuj}}
Rozpatrując wartości własne operatorów momentu pędu, to całkowity moment pędu kwantu promieniowania jest zapisany wedle wzoru:
Linia 27:
==Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego==
[[Grafika:Zmiana pola wektorowego w zależności od infitezymalnego kąta.JPG|thumb|170px|Zmiana &delta; stałego pola pola przy obrocie układu o kąt &delta;&theta;]]
W macierzy transformacji operatora całkowitego momentu pędu kwantu promieniowania napisanejnapisaną według {{LinkWzór|30.7}} i, jeśli w nim dokonamy operacji <math>\theta\rightarrow \delta\theta</MATH>, i rozpatrując przy stałym polu wektorowym <MATH>\psi(\vec{r})=\operatorname{const}\;</MATH>, wtedy wynik działania operatora momentu pędu na tą funkcję jest równa zero (ten operator jest w coś rodzaju liczenia pochodnej względem pewnych zmiennych przestrzennych, według definicji operatora momentu pędu) i pozostaje nam tylko operator zależny od operatora spinu {{linkWzór|30.5}}, to funkcję &psi; możemy rozłożyć w szereg Taylora jednej zmiennej i pominąć wyższe wyrazy niż liniowe:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}(\hat{l}+\hat{S}_{k^'k})}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\Rightarrow</MATH><BR><MATH>\Rightarrow
\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})=\psi_{k^'}(\vec{r})-\sum_k i\delta\theta{{1}\over{\hbar}}\underbrace{\hat{l}\psi_k(\vec{r})}_{0}-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})
Linia 33:
Przy zastosowania operatora {{LinkWzór|30.5}} dla infitezymalnego kąta obrotu przy transformacji wektorowej funkcji własnej jakiegoś równania własnego:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\psi^'(\vec{r})_{k^'}=\psi^{'}_{k^'}(\vec{r})-\psi_{k^'}(\vec{r})=-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})</MATH>|30.12}}
Z drugiej jednak strony z rysunku obok możemy jednak zapisać przy pomocy wektora <MATH>\vec{n}\;</MATH>, wzdłuż której następuje obrót o kierunku odwrotnie ze wskazówkami zegara, jeśli zwrot tego wektora jest nad zegarem:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\psi=-(\psi\times\vec{n})\delta\theta</MATH>|30.13}}
Ponieważ wzory {{LinkWzór|30.12}} i {{LinkWzór|30.13}} przedstawiają to samo, dla tej samej współrzędnej wektora falowego, ale dla stałego pola wektorowego, przyrównujemy obie strony tychże równań do siebie:
{{IndexWzór|<MATH>-\sum_k i\delta\theta{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})=
-(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta\Rightarrow\left(\sum_k i{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_k(\vec{r})\right)\delta\theta=(\psi\times\vec{n})_{k^'}\delta\theta</MATH>|30.14}}
I ostatecznie w ostatnim równaniu {{LinkWzór|30.14}} dokonajmy operacji wymnożenia obustronnego przez stałą kreśloną Plancka, wtedy otrzymamy tożsamość, którą później wykorzystamy dla ściśle określonych <MATH>k^'\;</MATH>:
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <MATH>k^'\;</MATH> równej jeden, czyli<MATH>k^'=1\;</MATH>;:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[x(S_x)_{11}+y(S_y)_{11}+z(S_z)_{11}\right]\psi_1+i\left[x(S_x)_{12}+y(S_y)_{12}+z(S_z)_{12}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
:<MATH>+i\left[x(S_x)_{13}+y(S_y)_{13}+z(S_z)_{13}\right]\psi_3=\hbar(\psi_2 z-\psi_3 y)\;</MATH>|30.16}}
Linia 51:
(S_x)_{13}=(S_z)_{13}=0\\
(S_y)_{13}=i\hbar\end{cases}\;</MATH>|30.17}}
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <math>k^'=2\;</MATH>, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z drugiego z trzech równań, które będziemy rozważaćwtedy:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[x (S_x)_{21}+y(S_y)_{21}+z(S_z)_{21}\right]\psi_1+i\left[x(S_x)_{22}+y(S_y)_{22}+z(S_z)_{22}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
<MATH>+i\left[x(S_x)_{23}+y(S_y)_{23}+z(S_z)_{23}\right]\psi_3=\hbar[\psi_3 x-\psi_1z]\;</MATH>|30.18}}
Linia 63:
(S_x)_{23}=-i\hbar\end{cases}\;</MATH>|30.19}}
 
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru <MATH>k^'=3\;</MATH>, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z trzeciego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[x (S_x)_{31}+y(S_y)_{31}+z(S_z)_{31}\right]\psi_1+i\left[x(S_x)_{32}+y(S_y)_{32}+z(S_z)_{32}\right]\psi_2+</MATH>
:<MATH>+i\left[x(S_x)_{33}+y(S_y)_{33}+z(S_z)_{33}\right]\psi_3=\hbar[\psi_1 y-\psi_2 x]</MATH>|30.20}}
Linia 93:
\end{pmatrix}</MATH>|30.24}}
|}
Związki między współrzędnymi macierzy spinowych, które później udowodnimy, przedstawiamy, podobnie jak dla zwykłych orbitalnych operatorów momentu pędu,:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z\;</MATH>|30.25}}
Linia 291:
i\hbar&-\lambda
\end{vmatrix}=\;</MaTH><BR><maTH>=-\lambda\left(\lambda^2-\hbar^2\right)=-\lambda(\lambda-\hbar)(\lambda+\hbar)\Rightarrow \lambda=-\hbar\vee\lambda=0\vee\lambda=\hbar\;</MaTH>|30.33}}
ze względu na obliczenia {{LinkWzór|30.33}} i tożsamości {{LinkWzór|30.32}} dochodzimy do wniosku, że trzecia składowa spinu dla kwantu spełnia podobny warunek jak dla trzeciej składowej (zetowej) momentu pędu względem liczby kwantowej charakteryzującej wartości własne momentu pędu, czyli spełnia warunek:
{{IndexWzór|<MATH>\lambda=m_S\hbar=-\hbar,0,\hbar\Rightarrow m_S=-1,0,1\;</MATH>|30.34}}
Liczba kwantowa kwadratu całkowitego momentu pędu jest równa S=1, a magnetyczna spinowa liczba magnetyczna jest liczbą mieszczącą się pomiędzy liczbami S=-1 i S=1, i ta liczba zmienia się co jeden, tak jak według przepisu {{LinkWzór|30.34}}, podobnie jest dla magnetycznej orbitalnej liczby kwantowej poprzez liczbę kwantową orbitalnego kwadratu momentu pędu {{LinkWzór|7.83|Mechanika kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}}.
 
==Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu==
Prowadźmy trójwymiarową przestrzeń spinową, którymi wektorami bazy w układzie kartezjańskim będą formalnie zapisane wektory spinowe:<MATH>\ &chi</MATH>;, które jak można udowodnić są do siebie ortonormalne i są to kanoniczne wersory w rozważanej bazie:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\vec{\chi}_x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</MATH>|30.35}}
Linia 312:
\sqrt{{{1}\over{2}}}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-i\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=
\sqrt{{{1}\over{2}}}\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}</MATH>|30.40}}
Zbudujmy operator spinowy ze znakiem plus, który jest sumą operatora spinowego iksowego {{LinkWzór|30.22}} i igrekowanego {{LinkWzór|30.23}}, pomnożonej przez jednostkę urojoną i, całość podzielona przez stałą kreśloną Plancka:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{S}_x+i\hat{S}_y\right)=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
Linia 326:
1&i&0
\end{pmatrix}</MATH>|30.41}}
Dalej zbudujmy operator spinowy ze znakiem minus, który jest różnicą operatora spinowego iksowego {{LinkWzór|30.22}} i igrekowanego {{LinkWzór|30.23}}, pomnożonej przez jednostkę urojoną i, całość podzielona przez stałą kreśloną Plancka:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_{-}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{S}_x-i\hat{S}_y\right)=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
Linia 353:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_0\vec{\chi}_k=k\vec{\chi}_k</MATH>|30.46}}
*gdzie <MATH>S=1\;</MATH>, zaś <MATH>k=+1,0,-1\;</MATH>
Udowodnijmy zależności {{LinkWzór|30.44}}, {{LinkWzór|30.45}} i {{LinkWzór|30.46}} dla trzech możliwych k i jednego S powiedzianych powyżej przy jakich wartościach mogą one przyjmować w tych wspomnianych wzorach:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{S}_{+}\vec{\chi}_{-1}=\begin{pmatrix}
0&0&-1\\
Linia 406:
1\cdot\sqrt{{{1}\over{2}}}\begin{pmatrix}-1\\-i\\0\end{pmatrix}</MATH>}}
 
Wiadomo, że jeśli zachodzi:<MATH>\hat{l}_zY_{lm}=m\hbar Y_{lm}</MATH>, to powinno również zachodzić inne równanie własne, ale wynikającego ze wspomnianego równania:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}_z(\hat{l}Y_{lm})=m\hbar(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.47}}
A teraz przejdźmy do dowodu ostatniego stwierdzenia wykorzystując przy tym, że całkowity operator momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem {{LinkWzór|30.10}}, to operator całkowitego momentu pędu wyraża się bardzo podobnym wzorem, zatem wspomniany ostatnio wzór można udowodnić wedle przekształceń:
Linia 444:
\hat{l}_yY_{lm}\\
\hat{l}_zY_{lm}\end{pmatrix}=m\hbar(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.48}}
*gdzie <MATH>m</MATH> jest to wartość własna operatora: <MATH>\hat{l}_z</MATH>, a zarazem operatora <MATH>\hat{j}_z\;</Math>
 
Jeśli zachodzi warunek <MATH>\hat{l}^2Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}</MATH>, to można udowodnić:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{jm})=j(j+1)(\hat{l}Y_{jm})</MATH>|30.49}}
a zarazem zachodzi <MATH>j=l\;</MATH>, co później udowodnimy intuicyjnie.
Aby udowodnić równanie własne {{LinkWzór|30.49}}, musimy wiedzieć, że :<MATH>[\hat{l},\hat{S}]=0</MATH>, co jest trywialnym dowodem, ze względu, że współrzędne operatora momentu pędu spinowego są macierzami, współrzędne operatora momentu pędu orbitalnego są operatorami, coś w rodzaju różniczkowania i, dlatego te operatory są przemienne, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wykorzystując przy tym, że operator całkowitego momentu pędu promieniowania elektromagnetycznego jest wyrażony wzorem {{LinkWzór|30.10}}:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{lm})=(\hat{l}+\hat{S})^2(\hat{l}Y_{lm})=\hat{l}^2(\hat{l}Y_{lm})+\hat{S}^2(\hat{l}Y_{lm})+2\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})=
</MATH><BR>
:<MATH>=(l(l+1)\hbar^2+S(S+1)\hbar^2)(\hat{l}Y_{lm})+2\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.50}}
Obliczmy wyrażenie pomocnicze: <MATH>\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{jm})</MATH>, występujące w dowodzie {{LinkWzór|30.50}}, by dalej przeprowadzić ten nas powyższy dowód.:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}\hat{S}(\hat{l}Y_{lm})=\left(\hat{l}_x\hat{S}_x+\hat{l}_y\hat{S}_y+\hat{l}_z\hat{S}_z\right)(\hat{l}Y_{lm})=</MATH>
:<MATH>=\hbar\left[\hat{l}_x\begin{pmatrix}
Linia 488:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{j}^2(\hat{l}Y_{lm})=(l(l+1)+S(S+1)-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=
(l(l+1)+2-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=l(l+1)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.52}}
Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako <MATH>j(j+1)\hbar^2\;</mATH>, a momentu pędu orbitalnego <MaTH>l(l+1)\hbar^2\;</MATH>, zatem dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach {{LinkWzór|30.52}} musimy przyjąć <math>j=l\;</MAth>, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, to na ich liczbach kwantowych powinno zachodzić dla całkowitego momentu pędu, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, tzn. j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla {{LinkWzór|30.47}} i {{LinkWzór|30.52}}:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<math>\hat{j}_z(\hat{l}Y_{jm})=m\hbar (\hat{l}Y_{jm})\;</MATH>|30.52|Obramuj}}